Question

20．如圖1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，連接DE，將△EDC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α．
（1）發(fā)現(xiàn)問題：
①當(dāng)α=0°時(shí)，求AE與BD的比值？
②當(dāng)α=180°時(shí)，求AE與BD的比值？
③猜想：當(dāng)0°≤α＜360°時(shí)，AE與BD的比值是定值嗎？（不必證明）
（2）解決問題：當(dāng)△EDC旋轉(zhuǎn)至A，D，E三點(diǎn)共線時(shí)，線段BD的長(zhǎng)度是多少？

Answer 1

分析 （1）①當(dāng)α=0°時(shí)，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根據(jù)點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，分別求出AE、BD的大小，即可求出的$\frac{AE}{BD}$值是多少．
②α=180°時(shí)，可得AB∥DE，然后根據(jù)$\frac{AC}{AE}$=$\frac{BC}{BD}$，求出$\frac{AE}{BD}$的值即可．
③首先判斷出∠ECA=∠DCB，再根據(jù)$\frac{EC}{DC}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，判斷出△ECA∽△DCB，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得答案．
（2）分兩種情況分析，A、D、E三點(diǎn)所在直線與BC不相交和與BC相交，然后利用勾股定理分別求解即可求得答案．

解答 解：（1）①當(dāng)α=0°時(shí)，∵Rt△ABC中，∠B=90°，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{（8÷2）}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$．
∵點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，
∴AE=4$\sqrt{5}$÷2=2$\sqrt{5}$，BD=8÷2=4，
∴$\frac{AE}{BD}$=$\frac{2\sqrt{5}}{4}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
②如圖1，當(dāng)α=180°時(shí)，∵Rt△ABC中，∠B=90°，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{（8÷2）}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$．
∵點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，
∴CD=4，CE=2$\sqrt{5}$，
∴AE=4$\sqrt{5}$+2$\sqrt{5}$=6$\sqrt{5}$，BD=8+4=12，
∴$\frac{AE}{BD}$=$\frac{6\sqrt{5}}{12}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
③猜想：當(dāng)0°≤α＜360°時(shí)，AE與BD的比值是定值．
如圖2，當(dāng)0°≤α＜360°時(shí)，$\frac{AE}{BD}$的大小沒有變化，
∵∠ECD=∠ACB，
∴∠ECA=∠DCB，
又∵$\frac{EC}{DC}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴△ECA∽△DCB，
∴$\frac{AE}{DB}$=$\frac{EC}{DC}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

（2）①如圖3，∵AC=4$\sqrt{5}$，CD=4，CD⊥AD，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{5}）^{2}-{4}^{2}}$=$\sqrt{80-16}$=8，
∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°，
∴四邊形ABCD是矩形，
∴BD=AC=5$\sqrt{5}$．
②如圖4，連接BD，過點(diǎn)D作AC的垂線交AC于點(diǎn)Q，過點(diǎn)B作AC的垂線交AC于點(diǎn)P，
∵AC=4$\sqrt{5}$，CD=4，CD⊥AD，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{5}）^{2}-{4}^{2}}$=$\sqrt{80-16}$=8，
在△ABC和△CDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{BC=DA}\\{AC=CA}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△CDA（SSS），
∴BP=DQ，BP∥DQ，PQ⊥DQ，
∴四邊形BDQP為矩形，
∴BD=PQ=AC-AP-CQ
=4$\sqrt{5}$-$\frac{4}{\sqrt{5}}$-$\frac{4}{\sqrt{5}}$=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．
綜上所述，BD的長(zhǎng)為4$\sqrt{5}$或$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于幾何變換綜合題．考查了、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)．注意掌握分類討論思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．