Question

4．等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，BC=12，點M為BC中點，含45°的直角三角板的銳角頂點與M重合，當(dāng)三角板繞點M旋轉(zhuǎn)時，三角板與兩直角邊交于點P、Q．P、Q分別在AB、AC邊上，設(shè)BP=x，CQ=y．
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）寫出x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）證明△BPM∽△CMQ，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，即可求解；
（2）首先求得AB的長度，則x的范圍即可求得．

解答 解：（1）∵M(jìn)為BC中點，
∴BM=CM=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×12=6．
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=∠PMQ=45°，
∵△BPM中，∠B+∠BPM+∠BMP=180°，則∠BPM+∠BMP=135°，
又∵∠BMP+∠PMQ+∠QMC=180°，則∠BMP+∠QMC=135°，
∴∠BPM=∠QMC，
又∵∠B=∠C，
∴△BPM∽△CMQ，
∴$\frac{BP}{CM}=\frac{BM}{CQ}$，即$\frac{x}{6}=\frac{6}{y}$，
∴y=$\frac{36}{x}$；
（2）直角△ABC中，AB=BC•sin45°=12×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=6$\sqrt{2}$，
則0＜x≤6$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，證明∠BPM=∠QMC是解題的關(guān)鍵．