Question

12．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16，∠BAC的平分線交BC于D，經過A、D的⊙O交AB于E，并且點O在AB上
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）求CD的長及⊙O的半徑長．

Answer 1

分析 （1）連接OD，根據(jù)平行線判定推出OD∥AC，推出OD⊥BC，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2））由勾股定理可求得AB的長，過C作CH⊥AB于H，從而可求得CH的值．再利用三角形的面積公式S_△ABC=S_△OBC+S_△OAC可求得半徑的長，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理求得BD，進而即可求得DC的長．

解答 （1）證明：連接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC，
∵∠C=90°，
∴∠ODC=90°，
∴OD⊥BC，
∵OD為半徑，
∴BC是⊙O切線；

（2）解：∵AC=12，BC=16，
∴AB=20；
過C作CH⊥AB于H，
則CH=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{54}{5}$，
連接OC，設⊙O的半徑為r；
則S_△ABC=S_△OBC+S_△OAC=$\frac{1}{2}$BC•r+$\frac{1}{2}$r•CH，
∴$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$BC•r+$\frac{1}{2}$r•CH，
∴96=$\frac{1}{2}$r（16+$\frac{54}{5}$），
∴r=$\frac{15}{2}$．
∵OD∥AC，
∴$\frac{OD}{AC}$=$\frac{BD}{BC}$，即$\frac{\frac{15}{2}}{12}$=$\frac{BD}{16}$，
∴BD=10，
∴CD=BC-BD=16-10=6．

點評 本題考查了切線的判定，勾股定理，三角形的面積以及平行線分線段成比例定理等知識點的應用，作出輔助線，證得OD⊥BC是解題的關鍵．