Question

3．如圖，△ABC中，AB=AC，D為BC邊的中點，過C作CE∥AD，交△ABC外角∠MAC的平分線于點E．
（1）求證：四邊形ADCE是矩形；
（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCE是正方形．

Answer 1

分析 （1）首先利用外角性質(zhì)得出∠B=∠ACB=∠FAE=∠EAC，進而得到AE∥CD，即可求出四邊形AEDB是平行四邊形，再利用有一個角是直角的平行四邊形是矩形即可判定四邊形ADCE是矩形；
（2）能使得矩形的臨邊AD和DC相等的條件均可．

解答 解：（1）∵AB=AC，D為BC中點，
∴AD⊥BC，即∠ADC=90°，∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵AE平分∠MAC，
∴∠MAE=∠CAE=$\frac{1}{2}$∠MAC，
又∵∠BAC+∠MAC=180°，
∴∠CAD+∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC+$\frac{1}{2}$∠MAC=90°，
即∠EAD=90°，
∴∠ADC+∠EAD=180°，
∴AE∥DC，
∵四邊形ADCE中，AE∥DC，CE∥AD，
∴四邊形ADCE是平行四邊形，
又∵∠ADC=90°，
∴四邊形ADCE是矩形；

（2）答案不唯一，如當(dāng)∠BAC=90°時，四邊形ADCE是正方形；

點評 本題的考點：外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)（等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】），平行四邊形和矩形的判定和性質(zhì)．