Question

3．如圖，在△ABC中，BC=6，S_△ABC=12，B₁C₁所在四邊形是△ABC的內(nèi)接正方形，B₂C₂所在四邊形是△AB₁C₁的內(nèi)接正方形，B₃C₃所在四邊形是△AB₂C₂的內(nèi)接正方形，依此類推，則B_nC_n的長(zhǎng)為6×（$\frac{2}{5}$）ⁿ．

Answer 1

分析 過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，交B₁C₁于點(diǎn)E，交B₂C₂于點(diǎn)F，由B₁C₁所在四邊形是△ABC的內(nèi)接正方形，易證得△AB₁C₁∽△ABC，由在△ABC中，BC=6，S_△ABC=12，可求得高AD的長(zhǎng)，然后由相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比，求得B₁C₁的長(zhǎng)，同理可求得B₂C₂與B₃C₃的長(zhǎng)，觀察即可得規(guī)律：B_nC_n=6×（$\frac{2}{5}$）ⁿ．

解答 解：過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，交B₁C₁于點(diǎn)E，交B₂C₂于點(diǎn)F，
∵B₁C₁所在四邊形是△ABC的內(nèi)接正方形，
∴B₁C₁∥BC，AD⊥B₁C₁，ED=B₁C₁，
∴△AB₁C₁∽△ABC，
∵在△ABC中，BC=6，S_△ABC=12，
∴AD=4，
設(shè)B₁C₁=x，則AE=4-x，
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{{B}_{1}{C}_{1}}{BC}$，
即：$\frac{4-x}{4}=\frac{x}{6}$，
解得：x=$\frac{12}{5}$，
即B₁C₁=$\frac{12}{5}$；
同理：△AB₂C₂∽△AB₁C₁，
∴$\frac{AF}{AE}=\frac{{B}_{2}{C}_{2}}{{B}_{1}{C}_{1}}$，
∵AE=4-$\frac{12}{5}$=$\frac{8}{5}$，
∴設(shè)B₂C₂=y，則AF=$\frac{8}{5}$-y，
∴$\frac{\frac{8}{5}-y}{\frac{8}{5}}=\frac{y}{\frac{12}{5}}$，
解得：y=$\frac{24}{25}$，
即B₂C₂=$\frac{24}{25}$=6×（$\frac{2}{5}$）²；
同理：B₃C₃=6×（$\frac{2}{5}$）³；
∴B_nC_n=6×（$\frac{2}{5}$）ⁿ．
故答案為：6×（$\frac{2}{5}$）ⁿ．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．