Question

1．如圖1，已知在平行四邊形ABCD中，AB=10，BC=16，sinB=$\frac{3}{5}$，點(diǎn)P是邊BC上的動點(diǎn)，以CP為半徑的圓C與邊AD交于點(diǎn)E、F（點(diǎn)F在點(diǎn)E的右側(cè)），射線CE與射線BA交于點(diǎn)G．

（1）當(dāng)圓C經(jīng)過點(diǎn)A時，求CP的長；
（2）聯(lián)結(jié)AP，當(dāng)AP∥CG時，求弦EF的長；
（3）當(dāng)△AGE是等腰三角形時，求CG的長．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)點(diǎn)A在⊙C上時，點(diǎn)E和點(diǎn)A重合，過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，直接利用勾股定理求出AC進(jìn)而得出答案；
（2）首先得出四邊形APCE是菱形，進(jìn)而得出CM的長，進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出CP以及EF的長；
（3）∠GAE≠∠BGC，只能∠AGE=∠AEG，利用AD∥BC，得出△GAE∽△GBC，進(jìn)而求出CG的長．

解答 解：（1）如圖1，設(shè)⊙O的半徑為r，
當(dāng)點(diǎn)A在⊙C上時，點(diǎn)E和點(diǎn)A重合，過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，
∵sinB=$\frac{3}{5}$，
∴cosB=$\frac{4}{5}$
∴BH=AB•cosB=8，
∴AH=AB•sinB=6，
CH=BC-BH=8，
∴AC=$\sqrt{A{H}^{2}+C{H}^{2}}$=10，
∴此時CP=CA=r=10； 
（2）如圖2，
若AP∥CE，APCE為平行四邊形，
∵CE=CP，
∴四邊形APCE是菱形，
連接AC、EP，則AC⊥EP，
∴AM=CM=$\frac{1}{2}$CA=5，
由（1）知，AB=AC，
則∠ACB=∠B，
∴CP=CE=$\frac{CM}{cos∠ACB}$=$\frac{25}{4}$，
過C作CN⊥EF于N
則EF=2EN=2$\sqrt{C{E}^{2}-C{N}^{2}}$=$\frac{7}{2}$；
（3）如圖3，
∵cosB=$\frac{4}{5}$，
∴∠B＜45°，
∵∠BCG＜90°，
∴∠BGC＞45°，
∵∠AEG=∠BCG≥∠GAE=∠B，
∴當(dāng)∠AEG=∠GAE時，∠BCG=∠B，A、E、G重合，
∴只能∠AGE=∠AEG，
∵AD∥BC，
∴△GAE∽△GBC，
∴$\frac{AE}{CB}=\frac{AG}{BG}$，
∴$\frac{CB}{BG}=\frac{AE}{AG}=1$，
即BC=BG=AB+AG，
16=10+AG，
∴AG=6=AE，
過G作GQ⊥AE于Q，
則GQ=AGsin∠GAE=6×$\frac{3}{5}$$\frac{18}{5}$，
AQ=AGcos∠GAE=6×$\frac{4}{5}$=$\frac{24}{5}$，
EQ=AE-AQ=6-$\frac{24}{5}$=$\frac{6}{5}$，
∴GE=$\sqrt{E{Q}^{2}+G{Q}^{2}}$，
=$\frac{6}{5}\sqrt{10}$，
又由△GAE∽△GBC，得$\frac{GC}{GE}=\frac{BC}{AE}$，
即$\frac{\frac{CG}{6\sqrt{10}}}{5}=\frac{16}{6}$，
∴CG=$\frac{16\sqrt{10}}{5}$．

點(diǎn)評 此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識，利用分類討論得出△AGE是等腰三角形時只能∠AGE=∠AEG進(jìn)而求出是解題關(guān)鍵．