Question

5．如圖，已知△ABC，按如下步驟作圖：
①分別以A，C為圓心，大于$\frac{1}{2}$AC的長為半徑畫弧，兩弧交于P，Q兩點；
②作直線PQ，分別交AB，AC于點E，D，連接CE；
③過C作CF∥AB交PQ于點F，連接AF．
（1）求證：△AED≌△CFD；
（2）當∠ACF=32°，∠B=46°時，求∠BCE的度數(shù)；
（3）求證：四邊形AECF是菱形．

Answer 1

分析 （1）由作圖知：PQ為線段AC的垂直平分線，從而得到AE=CE，AD=CD，然后根據(jù)CF∥AB得到∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED，利用ASA證得兩三角形全等即可；
（2）由△AED≌△CFD，得到∠EAD=∠ACF=32°，由作圖知，直線PQ是AC 的垂直平分線，得到∠ECD=∠EAD=32°，然后根據(jù)三角形的內角和定理即可得到；
（3）根據(jù)全等得到AE=CF，然后根據(jù)EF為線段AC的垂直平分線，得到EC=EA，F(xiàn)C=FA，從而得到EC=EA=FC=FA，利用四邊相等的四邊形是菱形判定四邊形AECF為菱形．

解答 解：（1）由作圖知：PQ為線段AC的垂直平分線，
∴AE=CE，AD=CD，
∵CF∥AB
∴∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED，
在△AED與△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAC=∠FCA}\\{AD=CD}\\{∠CFD=AED}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△CFD；

（2）∵△AED≌△CFD，
∴∠EAD=∠ACF=32°，
由作圖知，直線PQ是AC 的垂直平分線，
∴AE=CE，
∴∠ECD=∠EAD=32°，
∴∠BCE=180°-∠EAD-∠B-∠ECA=70°；

（3）∵△AED≌△CFD，
∴AE=CF，
∵EF為線段AC的垂直平分線，
∴EC=EA，F(xiàn)C=FA，
∴EC=EA=FC=FA，
∴四邊形AECF為菱形．

點評 本題考查了菱形的判定、全等的判定與性質及基本作圖，三角形的內角和，解題的關鍵是知道通過作圖能得到直線的垂直平分線．