Question

16．已知：在平面直角坐標(biāo)系中，M（0，1），N（2，2），在x軸上取一點(diǎn)P，使PM+PN的值最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（　　）

• A． （$\frac{3}{2}$，0）
• B． （-$\frac{3}{2}$，0）
• C． （0，$\frac{3}{2}$）
• D． （$\frac{2}{3}$，0）

Answer 1

分析 作出點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)M′，連接NM′交x軸于點(diǎn)P．由軸對稱的性質(zhì)可知MP+NP=M′P+NP，由兩點(diǎn)之間線段最短可知：當(dāng)M′、P、N在一條直線上時，MP+NP由最小值，然后求得直線M′N的解析式，最后令y=0即可求得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．

解答 解：如圖所示：作出點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)M′，連接NM′交x軸于點(diǎn)P．

由軸對稱的性質(zhì)可知：MP=M′P，
∴MP+NP=M′P+NP．
由兩點(diǎn)之間線段最短可知：當(dāng)M′、P、N在一條直線上時，MP+NP由最小值．
設(shè)直線M′N所在直線的解析式為y=kx+b，
將點(diǎn)M′（0，-1）、N（2，2）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{2k+b=2}\end{array}\right.$
解得：k=$\frac{3}{2}$，b=-1．
∴直線M′N的解析式為y=$\frac{3}{2}x-1$．
將y=0代入得；$\frac{3}{2}x-1=0$，
解得x=$\frac{2}{3}$．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{2}{3}$，0）
故選：D．

點(diǎn)評 本題主要考查的是軸對稱-路徑最短問題、待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、一次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，明確M′、P、N在一條直線上時，MP+NP由最小值是解題的關(guān)鍵．