Question

18．?ABCD的對角線AC，BD交于點O，∠AOD=60°，∠ADO=90°，BD=12，點P是AO上一動點，點Q是OC上一動點（P，Q不與端點重合），且AP=OQ，連接BQ，DP．
（1）線段PQ的長為12；
（2）設(shè)△PDO的面積為S₁，△QBO的面積為S₂，S₁+S₂的值是否發(fā)生變化？若不變，求出這個不變的值；若變化，請說明隨著AP的增大，S₁+S₂的值是如何變化的；
（3）DP+BQ的最小值是12．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的性質(zhì)得出OA=OC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=6，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出OA=2OD，求出PQ=OA即可；
（2）由OD=OB得出S_△ODQ=S_△OBQ，由AP=OQ，得出S_△APD=S_△OQD，求出S₁+S₂=S_△DPQ=S_△AOD，再由勾股定理求出AD，即可得出結(jié)果；
（3）當(dāng)AP=OP時，DP+BQ的值最小，此時P為OA的中點，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出DP、BQ，即可得出結(jié)果．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=6，
∵∠AOD=60°，∠ADO=90°，
∴∠OAD=30°，
∴OA=2OD=12，
∵AP=OQ，
∴OP+OQ=OP+AP=OA=12，
即PQ=12；
故答案為：12；
（2）S₁+S₂的值不變，S₁+S₂=18$\sqrt{3}$；理由如下：
如圖所示，連結(jié)DQ，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OD=OB，
∴S_△ODQ=S_△OBQ，
∵AP=OQ，
∴S_△APD=S_△OQD，
∴S₁+S₂=S_△DPQ=S_△AOD，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：
AD=$\sqrt{O{A}^{2}-O{D}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}-{6}^{2}}$=6$\sqrt{3}$
∴S₁+S₂=S_△AOD=$\frac{1}{2}$AD•OD=$\frac{1}{2}$×6$\sqrt{3}$×6=18$\sqrt{3}$；
（3）DP+BQ最小值是12；理由如下：
當(dāng)AP=OP時，DP+BQ的值最小，此時P為OA的中點，
∵∠ADO=90°，
∴DP=$\frac{1}{2}$OA=6，
同理BQ=6，
∴DP+BQ的最小值=6+6=12；
故答案為：12．

點評 本題是四邊形綜合題目，考查了平行四邊形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、三角形面積的計算等知識；本題難度較大，綜合性強，特別是（2）（3）中，需要運用勾股定理、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)等知識才能得出結(jié)果．