Question

12．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，拋物線y=ax²+bx+3與x軸交于點 A（-4，0）和點B（$\frac{9}{2}$，0）；
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖2，點P是第一象限內(nèi)拋物線上的一動點，點Q是射線OB上的一動點，過點Q作直線m⊥x軸，射線AP交直線m于點E，點F為直線m上的一點，連接AF、BF，且∠ABF=2∠PAB，過點B作射線AP的垂線，垂足為C，直線BC交直線AF于點D，將△ABF沿直線AF翻折得到△AFB′，點B的對應(yīng)點B′恰好落在直線m上，求∠ADC的度數(shù)；
（3）如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)直線m與y軸重合時，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法直接求出拋物線解析式；
（2）由折疊的性質(zhì)得出∠BAF=∠B'AF，∠ABF=∠AB'F，再用直角三角形的兩銳角互余轉(zhuǎn)化即可得出∠DAC=45°，即可；
（3）由折疊的性質(zhì)得出AB'進(jìn)而得出OB'即可得出點B'的坐標(biāo)，再用角平分線定理得出點F的坐標(biāo)，同樣的道理得出點G的坐標(biāo)，進(jìn)而得出tan∠OBG=$\frac{1}{4}$，即可得出點E的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出直線AE解析式，最后直線AE解析式和拋物線解析式聯(lián)立即可確定出點P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+3與x軸交于點 A（-4，0）和點B（$\frac{9}{2}$，0）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{16a-4b+c=0}\\{\frac{81}{4}a+\frac{9}{2}b+c=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{6}}\\{b=\frac{1}{12}}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{1}{12}$x+3，
（2）∵將△ABF沿直線AF翻折得到△AFB′，
∴∠BAF=∠B'AF，∠ABF=∠AB'F，
∵∠ABF=2∠PAB，
∴∠AB'F=2∠PAB，
∵∠AB'F+∠B'AO=90°，
∴2∠PAB+∠B'AF+∠BAF=2∠PAB+2∠BAF=90°，
∴∠PAB+∠BAF=45°，
∴∠CAF=45°，
∵CD⊥AC，
∴∠ACD=90°，
∴∠ADC=45°．
（3）如圖3，當(dāng)直線m與y軸重合時，
由折疊知，BF=B'F，AB'=AB=$\frac{9}{2}$+4=$\frac{17}{2}$，
在Rt△AOB'中，OB'=$\sqrt{AB{'}^{2}-O{A}^{2}}$=$\frac{15}{2}$，
∴B'（0，-$\frac{15}{2}$）
設(shè)F（0，m），
∴OF=-m，B'F=m+$\frac{15}{2}$，
∵∠B'AF=∠OAF，
∴$\frac{OA}{AB'}=\frac{OF}{B'F}$，
∴$\frac{4}{\frac{17}{2}}=\frac{-n}{m+\frac{15}{2}}$，
∴m=-$\frac{12}{5}$，
∴F（0，-$\frac{12}{5}$），
∴BF=B'F=-$\frac{12}{5}$+$\frac{15}{2}$=$\frac{51}{10}$，
過點B作∠ABF的角平分線交y軸于G，
∴∠OBG=∠FBG=$\frac{1}{2}$∠ABF=∠BAP，
設(shè)G（0，n），
∴OG=-n，F(xiàn)G=n+$\frac{12}{5}$，
∵∠OBG=∠FBG，
∴$\frac{OB}{BF}=\frac{OG}{FG}$，
∴$\frac{\frac{9}{2}}{\frac{51}{10}}=\frac{-n}{n+\frac{12}{5}}$，
∴n=-$\frac{9}{8}$，
∴G（0，-$\frac{9}{8}$），
∴OG=$\frac{9}{8}$，
∴tan∠OBG=$\frac{OG}{OB}$=$\frac{\frac{9}{8}}{\frac{9}{2}}$=$\frac{1}{4}$，
∵∠BAP=∠OBG，
∴tan∠BAP=$\frac{OE}{OA}$=$\frac{OE}{4}$=$\frac{1}{4}$，
∴OE=1，
∴E（0，1），
∵A（-4，0），
∴直線AE的解析式為y=$\frac{1}{4}$x+1①，
∵點P是拋物線y=-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{1}{12}$x+3②上，
聯(lián)立①②解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍）或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=\frac{7}{4}}\end{array}\right.$，
∴P（3，$\frac{7}{4}$）．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，折疊的性質(zhì)，角平分線定理，用角平分線定理得出OF和OG是解本題的關(guān)鍵，作出輔助線是解本題的難點．