Question

20．如圖，AB是⊙O的直徑，CA與⊙O相切于點(diǎn)A，點(diǎn)D在⊙O上，且OD⊥OC，
（1）填空：∠ADB=90°°，理由是直徑所對(duì)的圓周角是直角；
（2）若⊙O的半徑為$\sqrt{5}$，AC=2，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由于AB是⊙O的直徑，根據(jù)“直徑所對(duì)的圓周角是直角”可直接得出結(jié)論；
（2）作DE⊥OA，垂足為E由AC是⊙O的切線，得到AC⊥OA，于是得到∠ACO+∠AOC=90°，OC=$\sqrt{O{A}^{2}+C{A}^{2}}$=$\sqrt{5+4}$=3，又由于OD⊥OC，得到∠AOC+∠AOD=90°，推出△DEO∽△OAC，得到比例式求出DE=$\frac{5}{3}$，OE=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，根據(jù)勾股定理求得BD=$\sqrt{D{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{5}{3}）^{2}+（\frac{2\sqrt{5}}{3}+\sqrt{5}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{6}}{3}$．

解答 解：（1）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
理由是直徑所對(duì)的圓周角是直角；
故答案為：90°，直徑所對(duì)的圓周角是直角；

（2）作DE⊥OA，垂足為E．
∵AC是⊙O的切線，
∴AC⊥OA，
∴∠ACO+∠AOC=90°，OC=$\sqrt{O{A}^{2}+C{A}^{2}}$=$\sqrt{5+4}$=3，
∵OD⊥OC，
∴∠AOC+∠AOD=90°，
∴∠ACO=∠AOD，
∵∠DEO=90°=∠OAC，
∴△DEO∽△OAC，
∴$\frac{DE}{OA}=\frac{DO}{OC}=\frac{OE}{CA}$，
∴$\frac{DE}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{3}=\frac{OE}{2}$，
∴DE=$\frac{5}{3}$，OE=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
∴BD=$\sqrt{D{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{5}{3}）^{2}+（\frac{2\sqrt{5}}{3}+\sqrt{5}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，作DE⊥OA，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．