Question

13．AD為△ABC的中線，D為BC中點，AE=AB，AF=AC，連接EF，EF=2AD
（1）如圖1，求證：∠EAF+∠BAC=180°；
（2）如圖2，設EF交AB于點G，交AC于點N，若∠ABC=60°時，點G為EF中點，延長EB、FC交于點M，且BG=2BM，請你研究$\frac{AN}{CF}$的值，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）延長AD至H，使DH=AD，連接BH，證明△BDH≌△CDA，得到AC∥BH，得到∠ABH+∠BAC=180°，證明∠ABH=∠EAF即可得到答案；
（2）作AK⊥BC于K，連接CG，根據(jù)三角形全等的判定和性質(zhì)求出AN和CF的長即可．

解答 （1）證明：延長AD至H，使DH=AD，連接BH，
∵EF=2AD，
∴AH=EF，
在△BDH和△CDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{∠BDH=∠CDA}\\{DH=AD}\end{array}\right.$，
∴△BDH≌△CDA，
∴HB=AC，∠BHD=∠CAD，
∴AC∥BH，
∴∠ABH+∠BAC=180°，
在△ABH和△EAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{HB=AF}\\{AH=EF}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△EAF，
∴∠ABH=∠EAF，
∴∠EAF+∠BAC=180°；
（2）$\frac{AN}{FC}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
證明：作AK⊥BC于K，連接CG，
∵△ABH≌△EAF，
∴∠AEG=∠BAD，
由（1）得，AD=$\frac{1}{2}$EF，又點G為EF中點，
∴EG=AD，
在△EAG和△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{∠AEG=∠BAD}\\{EG=AD}\end{array}\right.$，
∴△EAG≌△ABD，
∴∠EAG=∠ABC=60°，
∴△AEB是等邊三角形，
∴∠ABE=60°，
∴∠CBM=60°，
在△ACD和△FAG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=FG}\\{AG=CD}\\{AF=AC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△FAG，
∴∠ACD=∠FAG，∠DAC=∠F，∠ADC=∠FGA，
∵AC=AF，∴∠ACF=∠AFC，
在四邊形ABCF中，∠ABC+∠BCF+∠CFA+∠BAF=360°，
則∠BCF=150°，
∴∠BCM=30°，
∴∠BMC=90°，
則BC=2BM，
設BD=a，則CD=BM=AG=a，CM=$\sqrt{3}$a，BG=2BM=2a，則AB=3a，
∵∠ABC=60°，∠AKB=90°，
∴∠BAK=30°，
∴BK=$\frac{3}{2}$a，AK=$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，CK=DK=$\frac{1}{2}$a，
則AC=$\sqrt{A{K}^{2}+C{K}^{2}}$=$\sqrt{7}$a，
∵CK=DK，
∴∠ADC=∠ACD，
∵∠ADC=∠FGA，
∴∠AGN=∠ACB，
又∵∠GAN=∠CAB，
∴△GAN∽△CAB，
∴$\frac{AG}{AC}$=$\frac{AN}{AB}$，
∴$\frac{a}{\sqrt{7}a}$=$\frac{AN}{3a}$，
∴AN=$\frac{3\sqrt{7}a}{7}$，
∵FC=CM=$\sqrt{3}$a，
∴$\frac{AN}{FC}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

點評 本題考查的是三角形相似的判定和性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)，掌握它們的判定定理和性質(zhì)定理以及直角三角形的性質(zhì)是解題的關鍵，注意本題難度較大，解答時要靈活運用所學的知識．