Question

14．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，點E是直角邊AC上動點（點E與A、C兩點均不重合），點F是斜邊AB上的動點（點F與A、B兩點均不重合）．設(shè)AE長為x．
（1）若EF平分Rt△ABC的周長，試用含x的代數(shù)式表示AF=6-x；
（2）在（1）式的基礎(chǔ)上，若△AEF的面積為$\frac{16}{5}$，求x的值；
（3）在（1）式的基礎(chǔ)上，問：是否存在線段EF將Rt△ABC的周長和面積同時平分？若存在，求出此時AE的長；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）先利用勾股定理求得AB=5，從而得到三角形ABC的周長=12，然后根據(jù)AF+AE=6求解即可；
（2）過點F作FD⊥AC．先證明△FDA∽△BCA，由相似三角形的性質(zhì)可得到DF=$\frac{24-4x}{5}$，然后根據(jù)三角形的面積公式列方程求解即可；
（3）根據(jù)△AEF的面積等于三角形ABC面積的一半列方程求解即可．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=$\sqrt{B{C}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5．
所以△ABC的周長=3+4+5=12．
∴AE+AF=6．
∴AF=6-AE=6-x．
故答案為：6-x．
（2）過點F作FD⊥AC．

∵BC⊥AC，F(xiàn)D⊥AC，
∴BC∥DF．
∴△FDA∽△BCA．
∴$\frac{BC}{AB}=\frac{DF}{FA}$，即$\frac{4}{5}=\frac{DF}{6-x}$．
∴DF=$\frac{24-4x}{5}$．
∵△AEF的面積為$\frac{16}{5}$，
∴$\frac{1}{2}AE•DF$=$\frac{1}{2}x•\frac{24-4x}{5}$=$\frac{16}{5}$．
解得：x₁=2，x₂=4（舍去）．
∴x的值為2．
（3）存在．
理由：由（2）可知：$\frac{1}{2}x•\frac{24-4x}{5}$=$\frac{1}{2}×$$\frac{1}{2}×3×4$．
解得：x₁=$\frac{6-\sqrt{6}}{2}$，x₂=$\frac{6+\sqrt{6}}{2}$．
∵0＜x＜3，
∴x=$\frac{6-\sqrt{6}}{2}$．
∴AE=$\frac{6-\sqrt{6}}{2}$．

點評 本題主要考查的是相似三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理、三角形的面積公式、解一元二次方程，列出關(guān)于△AEF的面積的方程是解題的關(guān)鍵．