Question

4．如圖，直線l：y=kx-2k交坐標(biāo)軸于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P（m，n）為直線l上的一點(diǎn)，且滿足關(guān)系式2m²+2n²-4m+8n+10=0．
（1）求m、n、k的值；
（2）點(diǎn)Q為雙曲線y=$\frac{10}{x}$（x＞0）上一點(diǎn)，且∠APQ=45°，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）方程整理后得（m-1）²+（n+2）²=0，即可求得m=1，n=-2，得出P的坐標(biāo)，代入y=kx-2k即可求得k的值；
（2）作BC⊥AB，交CQ于C，作CD⊥y軸于D，由直線l：y=2x-4可知：A（2，0），B（0，-4），根據(jù)勾股定理求得AB=2$\sqrt{5}$，PB=$\sqrt{5}$，從而求得sin∠ABO=sin∠BCD=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cos∠ABO=cos∠BCD=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，進(jìn)而求得C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求得直線PQ的解析式，然后與反比例函數(shù)的解析式聯(lián)立方程即可求得Q的坐標(biāo)．

解答 解：（1）方程2m²+2n²-4m+8n+10=0整理得：
（m-1）²+（n+2）²=0，
∴m=1，n=-2，
∴P（1，-2），
∵點(diǎn)P（m，n）為直線l上的一點(diǎn)，
∴-2=k-2k，解得k=2；

（2）由直線l：y=2x-4可知：A（2，0），B（0，-4），
∴AB=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴sin∠ABO=$\frac{OA}{AB}$=$\frac{2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cos∠ABO=$\frac{OB}{AB}$=$\frac{4}{2\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
作BC⊥AB，交CQ于C，作CD⊥y軸于D，
∵∠BCD=∠ABO，
∴sin∠BCD=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cos∠BCD=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵PB=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，∠BPC=∠APQ=45°，
∴BC=PB=$\sqrt{5}$，
∴sin∠BCD=$\frac{BD}{BC}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cos∠BCD=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴BD=1，CD=2，
∴C（-2，-3），
設(shè)直線PQ的解析式為y=ax+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b=-2}\\{-2a+b=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{3}}\\{b=-\frac{7}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線PQ的解析式為y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{7}{3}$，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x-\frac{7}{3}}\\{y=\frac{10}{x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=10}\\{{y}_{2}=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-3}\\{{y}_{2}=-\frac{10}{3}}\end{array}\right.$，
∵x＞0，
∴Q（10，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，同時(shí)考查了利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，銳角三角函數(shù)的定義，本題有一定難度．準(zhǔn)確作出輔助線利用數(shù)形結(jié)合是解決（2）的關(guān)鍵．