Question

5．如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點P，CD=4$\sqrt{3}$，AP：PB=3：1．
（1）求⊙O的半徑；
（2）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）連接OC，OD，利用垂徑定理得CP=2$\sqrt{3}$，AP=3x，PB=x，則AB=4x，OC=2x，OP=x，利用勾股定理可得結(jié)果；
（2）根據(jù)OP=2，OC=4，利用直角三角形的性質(zhì)易得∠COD=120°，利用扇形和三角形的面積公式，求得陰影部分面積．

解答 解：（1）連接OC，OD，
設AP=3x，PB=x，則AB=4x，OC=2x，OP=x，
∵CD⊥AB，
∴CP=DP=2$\sqrt{3}$，
∴x²+（2$\sqrt{3}$）²=（2x）²，
解得：x=2或x=-2（舍去），
∴OC=4，
∴⊙O的半徑為4；

（2）∵OP=2，OC=4，
∴在Rt△OCP中，∠OCP=30°，∠COP=60°，
∴∠COD=120°，
∵S_陰影=S_扇形OCD-S_△OCD
=$\frac{120°•π•{4}^{2}}{360°}$-$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$×2
=$\frac{16}{3}π-4\sqrt{3}$，
∴陰影部分的面積為：$\frac{16π}{3}-4\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)和扇形面積公式，作出適當?shù)妮o助線，數(shù)形結(jié)合是解答此題的關(guān)鍵．