Question

4．已知：如圖，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，$\frac{AB}{A′B′}=\frac{AC}{A′C′}$．
求證：Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．

Answer 1

分析 在AC上截取AD=A′C′，在AB上截取AE=A′B′，連接DE，先證明△ABC∽△AED，得出∠ADE=∠C=90°，再由HL證明Rt△AED≌Rt△A′B′C′，即可得出結(jié)論．

解答 證明：在AC上截取AD=A′C′，在AB上截取AE=A′B′，連接DE，如圖所示：
∵$\frac{AB}{A′B′}=\frac{AC}{A′C′}$，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，
又∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△AED，
∴∠ADE=∠C=90°，∠C=∠C′=90°，
∴∠ADE=∠C′=90°，
在Rt△AED和Rt△A′B′C′中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=A′B′}\\{AD=A′C′}\end{array}\right.$，
∴Rt△AED≌Rt△A′B′C′（HL），
∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．

點評 本題考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定；熟練掌握相似三角形的判定方法，通過作輔助線證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．