Question

4．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)且與B、C不重合．∠ADE=45°，交AC于E．
（1）求證：△ABD∽△DCE；
（2）設(shè)BD=x，AE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；
（3）當(dāng)△ADE是直角三角形時(shí)，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系，易證△ABD∽△DCE；
（2）由△ABD∽△DCE，對(duì)應(yīng)邊成比例及等腰直角三角形的性質(zhì)可求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）由題意得到∠DAE＜∠BAC＜90°，由∠ADE=45°，于是得到當(dāng)△ADE是直角三角形時(shí)，只有∠AED=90°，推出△AED是等腰直角三角形，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）△ABD與△DCE相似，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=∠ADE=45°，
∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，
∴∠BAD=∠CDE，
∴△ABD∽△DCE；

（2）由（1）得△ABD∽△DCE
∴$\frac{BD}{CE}=\frac{AB}{CD}$
∵∠BAC=90°，AB=AC=2，
∴BC=2$\sqrt{2}$，DC=2$\sqrt{2}$-x，EC=2-y
∴$\frac{x}{2-y}=\frac{2}{2\sqrt{2}-x}$，
∴y=$\frac{1}{2}$x²-$\sqrt{2}$x+2；

（3）∵∠DAE＜∠BAC，
∴∠DAE＜90°，
∵∠ADE=45°，
∴當(dāng)△ADE是直角三角形時(shí)，
只有∠AED=90°，
∴△AED是等腰直角三角形，
∴AE=DE，∠DAE=45°，
∴∠ADC=90°，
∴AC=CD，
∴AE=$\frac{1}{2}$AC=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，求二次函數(shù)的解析式，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．