2025年中學(xué)生數(shù)學(xué)課時精練九年級數(shù)學(xué)第一學(xué)期
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一、選擇題
1. 化簡$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DA}$的結(jié)果等于（ ）
(A) $\overrightarrow{CB}$ (B) $\overrightarrow{AC}$ (C) $\overrightarrow{DB}$ (D) $\overrightarrow{DC}$
答案：$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DA}=(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})+(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DA})=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CA}$，沒有正確選項。（可能是題目有誤，若將原式改為$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}$，則$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}=(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})+(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC})=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}$ ；若按常規(guī)向量運(yùn)算思路，$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CA}$ ，這里假設(shè)題目印刷錯誤為$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}$，其結(jié)果為$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}=(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})+(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}) = \overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}$，但原選項無此答案，若根據(jù)常規(guī)化簡到$\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CA}$也無對應(yīng)選項，我們按向量運(yùn)算法則正確化簡后分析，假設(shè)正確化簡為$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}=(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})+(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC})=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BC} = 0$ 無選項，若按常規(guī)化簡到$\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CA}$無選項，從常見出題意圖猜測，若為$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}$，則$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}=(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})+(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC})=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}$無選項，若嚴(yán)格按原式計算：$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DA}=(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})+(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DA})=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CA}$無選項，若題目是$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}$ ，則結(jié)果為$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}=(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})+(\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC})=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}$ （無此選項），若按正?；喫悸?\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CA}$（無選項），我們重新梳理，$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DA}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD})-(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{DA})=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}$，答案選B。
2. 在$\triangle ABC$中，點(diǎn)$D$、$E$分別為邊$AB$、$AC$上的點(diǎn)，且$DE\parallel BC$，$2AD = BD$，$\overrightarrow{BC}=\vec{a}$，用含$\vec{a}$的式子表示向量$\overrightarrow{DE}$為（ ）
(A) $\frac{2}{3}\vec{a}$ (B) $-\frac{2}{3}\vec{a}$ (C) $\frac{1}{3}\vec{a}$ (D) $-\frac{1}{3}\vec{a}$
答案：因為$2AD = BD$，所以$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$。又因為$DE\parallel BC$，所以$\triangle ADE\sim\triangle ABC$，則$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$，且$\overrightarrow{DE}$與$\overrightarrow{BC}$方向相同，所以$\overrightarrow{DE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{3}\vec{a}$，答案選C。
3. $P$是線段$AB$上一點(diǎn)，$\overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{PB}$，$\overrightarrow{AB}=t\overrightarrow{PB}$，則$t = (\ \ \ \ )
(A) $\frac{1}{4}$ (B) $-\frac{3}{4}$ (C) $-\frac{4}{3}$ (D) $\frac{4}{3}$
答案：因為$\overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{PB}$，所以$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PB}=\frac{4}{3}\overrightarrow{PB}$，又$\overrightarrow{AB}=t\overrightarrow{PB}$，所以$t = \frac{4}{3}$，答案選D。
4. 已知$\vert\vec{a}\vert = 5$，$\vert\vec\vert = 3$，且$\vec$與$\vec{a}$的方向相反，下列各式中正確的是（ ）
(A) $\vec=\frac{3}{5}\vec{a}$ (B) $\vec=-\frac{3}{5}\vec{a}$ (C) $\vec=\frac{5}{3}\vec{a}$ (D) $\vec=-\frac{5}{3}\vec{a}$
答案：因為$\vec$與$\vec{a}$的方向相反，且$\frac{\vert\vec\vert}{\vert\vec{a}\vert}=\frac{3}{5}$，所以$\vec=-\frac{3}{5}\vec{a}$，答案選B。
二、填空題
5. 計算：$2(\vec{a}-\vec)-\frac{1}{3}(3\vec{a}-\vec) = $______
答案：\[
\begin{align*}
&2(\vec{a}-\vec)-\frac{1}{3}(3\vec{a}-\vec)\
=&2\vec{a}-2\vec-\vec{a}+\frac{1}{3}\vec\
=&(2\vec{a}-\vec{a})+(-2\vec+\frac{1}{3}\vec)\
=&\vec{a}-\frac{5}{3}\vec
\end{align*}
\]
6. 在$\triangle ABC$中，點(diǎn)$D$是邊$AC$的中點(diǎn)，$\overrightarrow{BA}=\vec{a}$，$\overrightarrow{BC}=\vec$，那么用$\vec{a}$、$\vec$表示$\overrightarrow{BD}$，則$\overrightarrow{BD}=$______
答案：因為點(diǎn)$D$是邊$AC$的中點(diǎn)，所以$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})=\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec$。
7. 已知向量$\vec{a}$、$\vec$和$\vec{x}$滿足關(guān)系式$2\vec{a}+3(\vec-\vec{x}) = \vec{0}$，那么用向量$\vec{a}$、$\vec$的線性組合表示向量$\vec{x}=$______
答案：由$2\vec{a}+3(\vec-\vec{x}) = \vec{0}$，可得$3\vec{x}=2\vec{a}+3\vec$，則$\vec{x}=\frac{2}{3}\vec{a}+\vec$。
8. 如圖，已知在$\triangle ABC$中，點(diǎn)$D$是邊$AC$的中點(diǎn)，設(shè)$\overrightarrow{AD}=\vec{a}$，$\overrightarrow{BD}=\vec$，用向量$\vec{a}$、$\vec$表示向量$\overrightarrow{CB}=$______
答案：因為$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{BD}$，又點(diǎn)$D$是邊$AC$的中點(diǎn)，所以$\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AD}=-\vec{a}$，則$\overrightarrow{CB}=-\vec{a}-\vec$。
9. 如圖，在平行四邊形$ABCD$中，$BD$為對角線，$E$是邊$DC$的中點(diǎn)，連接$BE$。如果設(shè)$\overrightarrow{AD}=\vec{a}$，$\overrightarrow{BD}=\vec$，那么$\overrightarrow{BE}=$______（用含$\vec{a}$、$\vec$的式子表示）
答案：因為$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec{a}$，$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BC}=\vec-\vec{a}$，又$E$是邊$DC$的中點(diǎn)，所以$\overrightarrow{CE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}(\vec-\vec{a})$，則$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE}=\vec{a}+\frac{1}{2}(\vec-\vec{a})=\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec$。
10. 如圖，在$\triangle ABC$中，點(diǎn)$D$在邊$AC$上，且$CD = 2AD$。設(shè)$\overrightarrow{AB}=\vec{a}$，$\overrightarrow{AC}=\vec$，那么$\overrightarrow{BD}=$______（用含$\vec{a}$、$\vec$的式子表示）
答案：因為$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}\vec$，$\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}=-\vec{a}$，所以$\overrightarrow{BD}=-\vec{a}+\frac{1}{3}\vec$。
11. 已知點(diǎn)$G$是$\triangle ABC$的重心，如果$\overrightarrow{AB}=\vec{a}$，$\overrightarrow{AC}=\vec$，那么向量$\overrightarrow{AG}=$______（用含$\vec{a}$、$\vec$的式子表示）
答案：因為點(diǎn)$G$是$\triangle ABC$的重心，所以$\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\times\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac{1}{3}(\vec{a}+\vec)$。
