2025年中學(xué)生數(shù)學(xué)課時(shí)精練九年級(jí)數(shù)學(xué)第一學(xué)期
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1. 如果向量$\vec{a}$、$\vec$、$\vec{x}$滿足$\vec{x}+\vec{a}=\frac{3}{2}(\vec{a}-\frac{2}{3}\vec)$，那么$\vec{x}$用$\vec{a}$、$\vec$表示正確的是( )
(A) $\vec{a}-2\vec$ (B) $\frac{5}{2}\vec{a}-\vec$ (C) $\vec{a}-\frac{2}{3}\vec$ (D) $\frac{1}{2}\vec{a}-\vec$
答案：由$\vec{x}+\vec{a}=\frac{3}{2}(\vec{a}-\frac{2}{3}\vec)$，展開得$\vec{x}+\vec{a}=\frac{3}{2}\vec{a}-\vec$，移項(xiàng)可得$\vec{x}=\frac{3}{2}\vec{a}-\vec-\vec{a}=\frac{1}{2}\vec{a}-\vec$，答案是D。
2. 如圖，已知平行四邊形$ABCD$的對(duì)角線$AC$和$BD$相交于點(diǎn)$O$，設(shè)$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$，$\overrightarrow{OB}=\vec$，那么向量$\overrightarrow{OC}$、$\overrightarrow{OD}$、$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{BC}$關(guān)于$\vec{a}$、$\vec$的分解式中，下列結(jié)論正確的是( )
(A) $\overrightarrow{OC}=\vec{a}$ (B) $\overrightarrow{OD}=-\vec$ (C) $\overrightarrow{AB}=\vec{a}-\vec$ (D) $\overrightarrow{BC}=\vec{a}+\vec$
答案：在平行四邊形$ABCD$中，因?yàn)槠叫兴倪呅螌?duì)角線互相平分，所以$\overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{OA}=-\vec{a}$，$\overrightarrow{OD}=-\overrightarrow{OB}=-\vec$，$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\vec-\vec{a}$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=-\vec{a}-\vec$，答案是B。
3. 下列正確的有( )
① $\vert k\vec{a}\vert = k\vert\vec{a}\vert$；② $\vec{a}_0$為單位向量，則$\vec=\vert\vec\vert\vec{a}_0$；③ 平面內(nèi)向量$\vec{a}$、$\vec{c}$，總存在實(shí)數(shù)$m$使得向量$\vec{c}=m\vec{a}$；④ 若$\vec{a}=\vec{m}+\vec{n}$，$\vec{m}\parallel\vec{a}_1$，$\vec{n}\parallel\vec{a}_2$，則$\vec{m}$、$\vec{n}$就是$\vec{a}$在$\vec{a}_1$、$\vec{a}_2$方向上的分向量.
(A) 0個(gè) (B) 1個(gè) (C) 2個(gè) (D) 3個(gè)
答案：①當(dāng)$k < 0$時(shí)，$\vert k\vec{a}\vert=-k\vert\vec{a}\vert$，所以①錯(cuò)誤；②只有當(dāng)$\vec$與$\vec{a}_0$同向時(shí)，$\vec=\vert\vec\vert\vec{a}_0$，所以②錯(cuò)誤；③當(dāng)$\vec{a}=\vec{0}$，$\vec{c}\neq\vec{0}$時(shí)，不存在實(shí)數(shù)$m$使得$\vec{c}=m\vec{a}$，所以③錯(cuò)誤；④只有當(dāng)$\vec{a}_1$，$\vec{a}_2$不共線時(shí)，$\vec{m}$、$\vec{n}$才是$\vec{a}$在$\vec{a}_1$、$\vec{a}_2$方向上的分向量，所以④錯(cuò)誤。正確的個(gè)數(shù)是0個(gè)，答案是A。
4. 已知向量$\vec{a}$、$\vec$、$\vec{x}$滿足$3(\vec{a}-\vec{x}) = 2(\vec-\vec{x})$，試用向量$\vec{a}$、$\vec$表示向量$\vec{x}$，那么$\vec{x}=$______。
答案：由$3(\vec{a}-\vec{x}) = 2(\vec-\vec{x})$，展開得$3\vec{a}-3\vec{x}=2\vec-2\vec{x}$，移項(xiàng)可得$-3\vec{x}+2\vec{x}=2\vec-3\vec{a}$，即$\vec{x}=3\vec{a}-2\vec$。
5. 如圖，在$\triangle ABC$中，$D$是邊$BC$的中點(diǎn)，$\overrightarrow{AB}=\vec{a}$，$\overrightarrow{AC}=\vec$，用向量$\vec{a}$、$\vec$表示向量$\overrightarrow{AD}=$______。
答案：因?yàn)?D$是$BC$中點(diǎn)，所以$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec$。
6. 如圖，已知平行四邊形$ABCD$中，點(diǎn)$E$是邊$BC$的中點(diǎn)，$DE$與$AC$相交于點(diǎn)$F$，設(shè)$\overrightarrow{AB}=\vec{a}$，$\overrightarrow{BC}=\vec$，那么$\overrightarrow{FD}$在$\overrightarrow{AB}$方向上的分向量是______，在$\overrightarrow{BC}$方向上的分向量是______（分別用含$\vec{a}$、$\vec$的式子表示）。
答案：因?yàn)樗倪呅?ABCD$是平行四邊形，$\triangle ADF\sim\triangle CEF$，且$CE=\frac{1}{2}BC$，所以$\frac{AF}{FC}=\frac{AD}{CE}=2$，則$\overrightarrow{CF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}$。$\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}=-\vec-\vec{a}$，$\overrightarrow{CF}=-\frac{1}{3}\vec-\frac{1}{3}\vec{a}$，$\overrightarrow{FD}=\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CF}=-\vec{a}-(-\frac{1}{3}\vec-\frac{1}{3}\vec{a})=-\frac{2}{3}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec$。所以$\overrightarrow{FD}$在$\overrightarrow{AB}$方向上的分向量是$-\frac{2}{3}\vec{a}$，在$\overrightarrow{BC}$方向上的分向量是$\frac{1}{3}\vec$。
5. 如圖，在$\triangle ABC$中，點(diǎn)$D$是邊$AC$上一點(diǎn)，且$CD = 2AD$，設(shè)$\overrightarrow{BA}=\vec{a}$，$\overrightarrow{BC}=\vec$，那么向量$\overrightarrow{BD}=$______（用$x\vec{a}+y\vec$的形式表示，其中$x$、$y$為實(shí)數(shù)）。
答案：因?yàn)?CD = 2AD$，所以$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}=\vec-\vec{a}$，則$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}(\vec-\vec{a})$，$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\vec{a}+\frac{1}{3}(\vec-\vec{a})=\frac{2}{3}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec$。
8. 如圖，已知點(diǎn)$G$為$\triangle ABC$的重心，過點(diǎn)$G$作$BC$的平行線交$AB$和$AC$于點(diǎn)$D$、$E$，設(shè)$\overrightarrow{GB}=\vec{a}$，$\overrightarrow{GC}=\vec$，用$x\vec{a}+y\vec$（$x$、$y$為實(shí)數(shù)）的形式表示向量$\overrightarrow{DE}=$______。
答案：因?yàn)辄c(diǎn)$G$為$\triangle ABC$的重心，$DE\parallel BC$，所以$\frac{DE}{BC}=\frac{2}{3}$。$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{GC}-\overrightarrow{GB}=\vec-\vec{a}$，則$\overrightarrow{DE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}=\frac{2}{3}(\vec-\vec{a})=-\frac{2}{3}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec$。
