2025年中學(xué)生數(shù)學(xué)課時精練九年級數(shù)學(xué)第一學(xué)期
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12. 如圖，在$\triangle ABC$中，點(diǎn)$D$在邊$AB$上，且$BD = 2AD$，點(diǎn)$E$是$AC$的中點(diǎn)，連接$DE$，設(shè)向量$\overrightarrow{BA}=\vec{a}$，$\overrightarrow{BC}=\vec$，如果用$\vec{a}$、$\vec$表示$\overrightarrow{DE}$，那么$\overrightarrow{DE}=$_____.
答案：因?yàn)?BD = 2AD$，所以$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$，又$\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}= - \vec{a}$，則$\overrightarrow{AD}=-\frac{1}{3}\vec{a}$。因?yàn)辄c(diǎn)$E$是$AC$的中點(diǎn)，所以$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，而$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}=\vec-\vec{a}$，那么$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}(\vec-\vec{a})$。根據(jù)向量減法$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}$，即$\overrightarrow{DE}=\frac{1}{2}(\vec-\vec{a})-(-\frac{1}{3}\vec{a})=\frac{1}{2}\vec-\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{a}=\frac{1}{2}\vec-\frac{1}{6}\vec{a}$。
13. 如圖，已知兩個不平行的向量$\vec{a}$、$\vec$。先化簡，再求作：$2(\vec{a}-\frac{1}{2}\vec)-\frac{1}{3}(3\vec{a}-\frac{3}{2}\vec)$。
答案：化簡：\[
\begin{align*}
&2(\vec{a}-\frac{1}{2}\vec)-\frac{1}{3}(3\vec{a}-\frac{3}{2}\vec)\
=&2\vec{a}-\vec-\vec{a}+\frac{1}{2}\vec\
=&(2\vec{a}-\vec{a})+(-\vec+\frac{1}{2}\vec)\
=&\vec{a}-\frac{1}{2}\vec
\end{align*}
\]求作：先作向量$\vec{a}$，再作向量$-\frac{1}{2}\vec$（將$\vec$反向并取其長度的一半），最后根據(jù)向量加法的三角形法則，以$\vec{a}$的終點(diǎn)為起點(diǎn)作$-\frac{1}{2}\vec$，從$\vec{a}$的起點(diǎn)指向$-\frac{1}{2}\vec$的終點(diǎn)的向量即為$\vec{a}-\frac{1}{2}\vec$。
14. 如圖，已知平行四邊形$ABCD$的對角線相交于點(diǎn)$O$，點(diǎn)$E$是邊$BC$的中點(diǎn)，連接$DE$交$AC$于點(diǎn)$G$。設(shè)$\overrightarrow{AD}=\vec{a}$，$\overrightarrow{DC}=\vec$。(1) 試用$\vec{a}$、$\vec$表示向量$\overrightarrow{OC}$；(2) 試用$\vec{a}$、$\vec$表示向量$\overrightarrow{DG}$。
答案：(1) 在平行四邊形$ABCD$中，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\vec{a}+\vec$，因?yàn)槠叫兴倪呅螌蔷€互相平分，所以$\overrightarrow{OC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec)$。(2) 因?yàn)?AD\parallel BC$，$E$是$BC$中點(diǎn)，所以$\triangle ADG\sim\triangle CEG$，且相似比為$AD:CE = 2:1$，則$DG:GE=2:1$，所以$\overrightarrow{DG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{DE}$。又$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CE}$，$\overrightarrow{CE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}=-\frac{1}{2}\vec{a}$，$\overrightarrow{DC}=\vec$，所以$\overrightarrow{DE}=\vec-\frac{1}{2}\vec{a}$，那么$\overrightarrow{DG}=\frac{2}{3}(\vec-\frac{1}{2}\vec{a})=\frac{2}{3}\vec-\frac{1}{3}\vec{a}$。
15. 如圖，在$\triangle ABC$中，$\angle BCD=\angle A$，$AD = 5$，$DB = 4$。(1) 求$BC$的長；(2) 若設(shè)$\overrightarrow{CA}=\vec{a}$，$\overrightarrow{CB}=\vec$，試用$\vec{a}$、$\vec$的線性組合表示向量$\overrightarrow{CD}$。
答案：(1) 因?yàn)?\angle BCD=\angle A$，$\angle B = \angle B$，所以$\triangle BCD\sim\triangle BAC$，則$\frac{BC}{BA}=\frac{BD}{BC}$。已知$AD = 5$，$DB = 4$，所以$BA=BD + AD=9$，即$BC^{2}=BD\times BA=4\times9 = 36$，所以$BC = 6$。(2) 因?yàn)?\triangle BCD\sim\triangle BAC$，所以$\frac{CD}{AC}=\frac{BD}{BC}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$，則$\overrightarrow{CD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}$（根據(jù)向量的定比分點(diǎn)公式，這里可以理解為將$\overrightarrow{CA}$和$\overrightarrow{CB}$按比例組合），即$\overrightarrow{CD}=\frac{2}{3}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec$。
16. 已知：如圖，在平行四邊形$ABCD$中，對角線$AC$、$BD$相交于點(diǎn)$O$，點(diǎn)$M$、$N$分別在邊$AO$、$OD$上，且$AM=\frac{2}{3}AO$，$ON=\frac{1}{3}OD$，設(shè)$\overrightarrow{AB}=\vec{a}$，$\overrightarrow{BC}=\vec$，試用$\vec{a}$、$\vec$的線性組合表示向量$\overrightarrow{OM}$和向量$\overrightarrow{MN}$。
答案：在平行四邊形$ABCD$中，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\vec{a}+\vec$，因?yàn)?O$是$AC$中點(diǎn)，所以$\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec)$。又$AM=\frac{2}{3}AO$，則$\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}\times\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec)=\frac{1}{3}(\vec{a}+\vec)$，$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec)-\frac{1}{3}(\vec{a}+\vec)=\frac{1}{6}(\vec{a}+\vec)$。$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=-\vec{a}+\vec$，因?yàn)?O$是$BD$中點(diǎn)，所以$\overrightarrow{OD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}(-\vec{a}+\vec)$，又$ON=\frac{1}{3}OD$，則$\overrightarrow{ON}=\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}(-\vec{a}+\vec)=\frac{1}{6}(-\vec{a}+\vec)$。$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}=\frac{1}{6}(-\vec{a}+\vec)-\frac{1}{6}(\vec{a}+\vec)=\frac{1}{6}(-\vec{a}+\vec-\vec{a}-\vec)=-\frac{1}{3}\vec{a}$。
