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[錯(cuò)因分析] 出錯(cuò)較多的是解答不夠嚴(yán)謹(jǐn), 例如計(jì)算出“當(dāng)0<a<2時(shí), 導(dǎo)數(shù)恒正”后, 就說(shuō)“f (x) 在R上為增函數(shù)”或“f (x) 在定義域?yàn)樵龊瘮?shù)”, 前者錯(cuò)在沒(méi)有考慮定義域, 后者錯(cuò)在沒(méi)有掌握好單調(diào)性判定定理, 忽視了本題里函數(shù)的定義域不是區(qū)間. 這些是實(shí)質(zhì)性的錯(cuò)誤. 還有類似的錯(cuò)誤, 如寫“f (x) 在(-∞, 1)∪(1, +∞)為增函數(shù)”, 這也可能僅僅是數(shù)學(xué)式寫錯(cuò)了, 不該用“∪”. 數(shù)學(xué)式寫錯(cuò)的還有“f (x) 在為增函數(shù)”, 這里不應(yīng)該用中括號(hào) “]”.

另一類錯(cuò)誤是第(Ⅰ)問(wèn)中不討論參數(shù)的值, 第(Ⅱ)問(wèn)中只討論a>0情形.

第(Ⅱ)問(wèn)中還有邏輯錯(cuò)誤. 例如“因?yàn)?i>f (0)=1, 故只要f (x) 在區(qū)間 (0, 1)為增函數(shù)”, 這樣也能得出正確結(jié)果, 但是推理過(guò)程是有錯(cuò)的, 錯(cuò)誤原因在于“f (0)=1, 且f (x) 在區(qū)間 (0, 1)為增函數(shù)”這個(gè)命題是“對(duì)任意 x∈(0,1) 恒有 f (x) >1”的充分條件而難以證明是必要條件.

[復(fù)習(xí)提示] 近年總有含參數(shù)的函數(shù)(或數(shù)列)的考題, 一般都可用常規(guī)方法求解. 首先概念要清楚, 含參數(shù)的函數(shù)不是一個(gè)函數(shù), 參數(shù)的值不同, 就是不同的函數(shù). 其次, 應(yīng)該對(duì)參數(shù)分類, 即按照參數(shù)的不同變化范圍分成若干情形, 再分別討論.

文(22) (本小題滿分14分)

綜上可知, 所求 a的取值范圍為 a≤2.

 ≥, 這時(shí)a滿足要求.

(?) 當(dāng)a>2時(shí), 由(Ⅰ) 知f (x) 在區(qū)間 (-,)為減函數(shù), 故在區(qū)間(0, ) 內(nèi)任取一點(diǎn), 比如取, 就有 x₀∈(0, 1) 且 f (x₀) < f (0) =1, 因而這時(shí)a不滿足要求.

(?) 當(dāng)a≤0時(shí), 對(duì)于任意x∈(0, 1) 恒有

f (x) 在區(qū)間 (-,)為減函數(shù).

(Ⅱ) 參數(shù)a的變化范圍和(Ⅰ) 不同, 但由(Ⅰ) 知仍分三種情形討論.

(?) 當(dāng)0< a≤2時(shí), 由(Ⅰ) 知f (x) 在區(qū)間 (-∞, 1) 為增函數(shù), 故對(duì)于任意x∈(0, 1) 恒有 f (x) > f (0) =1, 因而這時(shí)a滿足要求. 

f (x) 在區(qū)間 (-∞, -),  (, 1),  (1, +∞) 為增函數(shù),

ㄊ

ㄋ

ㄊ

ㄊ

+

-

+

+

(, 1)

 (1, +∞) 

(-,)