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4.(2009安徽卷理)若集合則A∩B是

　 (A) 　(B) (C) 　　(D) 　

5(2009江西卷理)已知全集中有m個元素，中有n個元素．若非空，則的元素個數(shù)為

A．　 　　　　　B．　　　 C．　　　　 D．

3.(2009廣東卷理)已知全集，集合和的關(guān)系的韋恩(Venn)圖如圖1所示，則陰影部分所示的集合的元素共有

A. 3個　　　 B. 2個　　　 C. 1個　 D. 無窮多個

2.(2009浙江理)設(shè)，，，則(　 )

A．　　 B．　　 C．　　　 D．

1.(2009全國卷Ⅰ理)設(shè)集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=AB，則集合中的元素共有(A)

(A)3個　　　 (B)4個　　　 (C)5個　　　 (D)6個　 　　

1.(2009年上海卷理)已知集合，，且，則實數(shù)a的取值范圍是_____

考點2：考查集合運算

3. 利用反證法

　　 例12　 已知函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,+∞)上是增函數(shù),a,b∈R,若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).求證:a+b≥0.

　　 證明 　假設(shè)a+b<0,則a<-b,b<-a,

　　 ∵　 函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,+∞)上是增函數(shù),

　∴　 f(a) <f(-b),f(b) <f(-a),

　　 ∴　 f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),這與已知矛盾,

　　 ∴　 a+b<0不成立,即a+b≥0.

　例13 　設(shè)函數(shù)f(x)對定義域內(nèi)任意實數(shù)都有f(x) ≠0,且f(x+y)=f(x)f(y)成立,求證:對定義域內(nèi)任意x,都有f(x) >0.

　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 證明 　假設(shè)在定義域內(nèi)存在x₀,使f(x₀)≤ 0,

　∵

　　 ∴ f(x₀) >0,這與假設(shè)的f(x₀)≤ 0矛盾,

　所以假設(shè)不成立,故對定義域內(nèi)任意x,都有f(x) >0.

　　 以上我們利用抽象函數(shù)的特殊模型、函數(shù)性質(zhì)、特殊方法等途徑舉例說明了求解抽象函數(shù)問題的一些策略.事實上處理這類問題時,常將幾種解題策略綜合使用,“多管齊下”方能游刃有余.

2. 利用遞推法

　例10　 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R,且對任意實數(shù)x,都有f(x)=f(x+1)-f(x+2),求證：f(x)是周期函數(shù).

　解 ∵ f(x)=f(x+1)-f(x+2),

　∴　 f(x+1)=f(x+2)-f(x+3), 　

　　 將以上兩式相加,得　 f(x+3)=-f(x),

　∴ f(x+6)=-f(x +3)=f(x),

　∴ f(x)是周期函數(shù),6是它的一個周期.

　　 例11　 f(x)是定義在正整數(shù)集的函數(shù),且滿足f(x+y)=f(x)+f(y)+xy　

(x,y∈N₊),f(1)=1,求函數(shù)f(x)的解析式.

　 　解　 令y=1,

　　 ∵　 f(1)=1,

　　 ∴ 　f(x+1)=f(x)+f(1)+x, 即f(x+1)-f(x)=x+1,

　　 則 f(2)-f(1)=2,

　　　 f(3)-f(2)=3,

　　　 ……

　　　 f(x)-f(x-1)=x.

　　 將以上各式相加,得　 f(x)-f(1)=2+3+4+ …+x,

　　 ∴ f(x)=1+2+3+4+…+x=x(x+1)　 (x∈N₊).

　　 有些抽象函數(shù)問題,用常規(guī)方法來解決往往難于奏效,但用一些非常規(guī)方法來求解,常收到意想不到的效果.

1. 利用賦值法

　 　例9　 函數(shù)f(x)的定義域為R,對任意x、y∈R,都有f(x+y)+f(x-y)=

2f(x)f(y),且f(0)≠0.

　 (1)求證:f(0)=1;　　

　 　 　 　 　 　 　 (2)求證:f(x)是偶函數(shù);

　 (3)　　　　　　　　　　　　 　　　① 求證:對任意x∈R,有f(x+c)=

-f(x)成 立;② 求證:f(x)是周期函數(shù).

　 　解　 (1)令x=y=0,則有2f(0)=2f²(0),

　　 ∵ f(0)≠0,

　　 ∴ f(0)=1.

　 (2)令x=0,則有f(y)+f(-y)= 2f(0)f(y),

　　 ∵ 　f(0)=1,

　 　　 ∴ f(-y)=f(y),

　∴ f(x)是偶函數(shù).

(3)① 分別用 (c≠0)替換x、y, 有f(x+c)+f(x)=2f()f().　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　 ∵ f()=0,　　　　

　　 ∴ f(x+c)= -f(x) .

　　 ②　 由①知　 f(x+c)=-f(x),

　　 用x+c替換x,有f(x+2c)=-f(x+c)=f(x),

　　 ∴　 f(x)是以2c為周期的周期函數(shù).

4. 利用對稱性

　例7　 已知f(x)是奇函數(shù),定義域為{x|x ∈R,x≠0},又f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是增函數(shù),且f(-1)=0,則滿足f(x)>0的x的取值區(qū)間是　　　　　　　 .

　　 解 　依已知條件作出f(x)的大致圖象,如圖1所示,從圖象中可看出,當(dāng)f(x)>0時,x的取值區(qū)間是(-1,0)∪(1,+∞).

　　 例8　 定義在(-∞,+∞)上的函數(shù)y=f(x)在(-∞,2)上是增函數(shù),且函數(shù)y=f(x+2)為偶函數(shù),則f(-1),f(4),f(6)的大小關(guān)系為　　　　　　　 .

　　 解 　設(shè)F(x)=f(x+2),

　　 ∵　 F(x)為偶函數(shù),

　　 ∴　 F(-x)=F(x), 即f(2+x)=f(2-x),

　　 ∴ 　函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱,

　　 ∴　 f(-1)=f(5),

　　 ∵　 f(x)在(-∞,2)上是增函數(shù),

　　 ∴　 f(x)在(2,+∞)上是減函數(shù),

　　 ∴ 　f(6)<f(5)<f(4), 即f(6)<f(-1)<f(4).

3. 利用周期性

　 　例5 　設(shè)函數(shù)f(x)在R上是奇函數(shù),f(x+2)=-f(x) ,當(dāng)0<x≤1時,f(x)=x,則f(7.5)=　　　　　 .

　　 解 　由f(x+2)=-f(x) ,得 f(x+4)=-f(x+2)=f(x),

　　 則f(x)是以4為周期的周期函數(shù),且是奇函數(shù),

　　 于是 f(7.5)=f(2×4-0.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5.

　 　 　 　 　　 例6 　已知函數(shù)f(x)滿足f(1)=2,f(x+1)=,則 f(2007)=　　 .

　　 解 ∵　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　 ∴ f(x)是以4為周期的周期函數(shù),