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2. 解不等式

1.解不等式

[例1] 如果kx²+2kx－(k+2)<0恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是＿＿＿.

A. －1≤k≤0　 B. －1≤k<0 　C. －1<k≤0　 D. －1<k<0

錯(cuò)解：由題意：

解得：－1<k<0

錯(cuò)因：將kx²+2kx－(k+2)<0看成了一定是一元二次不等式，忽略了k＝0的情況.

正解：當(dāng)k＝0時(shí)，原不等式等價(jià)于－2＜0，顯然恒成立， k＝0符合題意.

當(dāng)k0時(shí)，由題意：

解得：－1<k<0

，故選C.

　[例2] 命題＜3，命題＜0，若A是B的充分不必要條件，則的取值范圍是＿＿＿＿＿＿＿

A.　　 B.　　 C.　　 D.

錯(cuò)解：由｜x－1｜＜3得：－2＜x＜4，

又由(x+2)(x+a)=0得x=－2或x＝－a,

A是B的充分不必要條件,

x|－2＜x＜4x|－2＜x＜－a

－a>4故選D.

錯(cuò)因：忽略了a＝－4時(shí)，x|－2＜x＜4＝x|－2＜x＜－a，此時(shí)A是B的充要條件，不是充分不必要條件.

正解：由｜x－1｜＜3得：－2＜x＜4，

又由(x+2)(x+a)=0得x=－2或x＝－a,

A是B的充分不必要條件,

x|－2＜x＜4x|－2＜x＜－a

－a>4故選C.

[例3]已知f(x) = ax + ，若求的范圍.

錯(cuò)解： 由條件得　 　

②×2－①　 　　　　　

①×2－②得 　　　　　

+得　

錯(cuò)因：采用這種解法，忽視了這樣一個(gè)事實(shí)：作為滿足條件的函數(shù)，其值是同時(shí)受制約的.當(dāng)取最大(小)值時(shí)，不一定取最大(小)值，因而整個(gè)解題思路是錯(cuò)誤的.

正解： 由題意有,

　解得：

　 把和的范圍代入得

[例4] 解不等式(x+2)²(x+3)(x－2)

錯(cuò)解：(x+2)²

原不等式可化為：(x+3)(x－2)

原不等式的解集為{x| x －3或x}

錯(cuò)因:忽視了“”的含義，機(jī)械的將等式的運(yùn)算性質(zhì)套用到不等式運(yùn)算中.

正解：原不等式可化為：(x+2)²(x+3)(x－2) ①或(x+2)²(x+3)(x－2)②，

解①得：x=－3或x＝－2或x＝2

解②得：x＜ －3或x＞2

原不等式的解集為{x| x －3或x或x}

[例5] 解關(guān)于x的不等式

解：將原不等式展開(kāi)，整理得：

　討論：當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，若≥0時(shí)；若<0時(shí)

當(dāng)時(shí)，

點(diǎn)評(píng)：在解一次不等式時(shí)，要討論一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào).

[例6]關(guān)于x的不等式的解集為

求關(guān)于x的不等式的解集．

解：由題設(shè)知　，且是方程的兩根

∴，

從而　 可以變形為

即：　 ∴

點(diǎn)評(píng)：二次不等式的解集與二次方程的根之間的聯(lián)系是解本題的關(guān)健，這也體現(xiàn)了方程思想在解題中的簡(jiǎn)單應(yīng)用.

[例7]不等式的解集為　

解：∵，∴0＜，∴

∴

解得

反思：在數(shù)的比較大小過(guò)程中,要遵循這樣的規(guī)律,異中求同即先將這些數(shù)的部分因式化成相同的部分,再去比較它們剩余部分,就會(huì)很輕易啦.一般在數(shù)的比較大小中有如下幾種方法：(1)作差比較法和作商比較法,前者和零比較,后者和1比較大��；(2)找中間量,往往是1,在這些數(shù)中,有的比1大,有的比1�。�,(3)計(jì)算所有數(shù)的值；(4)選用數(shù)形結(jié)合的方法,畫(huà)出相應(yīng)的圖形；(5)利用函數(shù)的單調(diào)性等等.

3.集合的思想和方法在解不等式問(wèn)題中有廣泛的應(yīng)用，其難點(diǎn)是區(qū)分何時(shí)取交集，何時(shí)取并集.解不等式的另一個(gè)難點(diǎn)是含字母系數(shù)的不等式求解-注意分類.

2.不等式組的解集是本組各不等式解集的交集，所以在解不等式組時(shí)，先要解出本組內(nèi)各不等式的解集，然后取其交集，在取交集時(shí)，一定要利用數(shù)軸，將本組內(nèi)各不等式的解集在同一數(shù)軸上表示出來(lái)，注意同一不等式解的示意線要一樣高，不要將一個(gè)不等式解集的兩個(gè)或幾個(gè)區(qū)間誤看成是兩個(gè)或幾個(gè)不等式的解集.

1.不等式解法的基本思路

解不等式的過(guò)程，實(shí)質(zhì)上是同解不等式逐步代換化簡(jiǎn)原不等式的過(guò)程，因而保持同解變形就成為解不等式應(yīng)遵循的主要原則，實(shí)際上高中階段所解的不等式最后都要轉(zhuǎn)化為一元一次不等式或一元二次不等式，所以等價(jià)轉(zhuǎn)化是解不等式的主要思路.代數(shù)化、有理化、整式化、低次化是解初等不等式的基本思路.為此，一要能熟練準(zhǔn)確地解一元一次不等式和一元二次不等式，二要保證每步轉(zhuǎn)化都要是等價(jià)變形.

4.分式不等式：先整理成＞0或≥0的形式，轉(zhuǎn)化為整式不等式求解，即：

　＞0f(x)·g(x)＞0

　≥0

　然后用“根軸法”或化為不等式組求解.

3.簡(jiǎn)單的一元高次不等式：可用區(qū)間法(或稱根軸法)求解，其步驟是：

�、賹�f(x)的最高次項(xiàng)的系數(shù)化為正數(shù)；

　②將f(x)分解為若干個(gè)一次因式的積；

�、蹖⒚恳粋�(gè)一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從右上方依次通過(guò)每一點(diǎn)畫(huà)曲線；

�、芨鶕�(jù)曲線顯示出的f(x)值的符號(hào)變化規(guī)律，寫(xiě)出不等式的解集.

2. 一元二次不等式：(如下表)其中a＞0，x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0的兩實(shí)根，且x₁＜x₂

類型 解集	ax2+bx+c＞0	ax2+bx+c≥0	ax2+bx+c＜0	ax2+bx+c≤0
Δ＞0	{x｜x＜x1或x＞x2}	{x｜x≤x1或x≥x2}	{x｜x1＜x＜x2	{x｜x1≤x≤x2}
Δ＝0	{x｜x≠-，xR}	R	Ф	{x｜x=-}
Δ＜0	R	R	Φ	Φ

1. 一元一次不等式ax>b

(1)當(dāng)a>0時(shí)，解為；　　　　　　　

(2)當(dāng)a＜0時(shí)，解為；

(3)當(dāng)a＝0，b≥0時(shí)無(wú)解；當(dāng)a＝0，b＜0時(shí)，解為R．