[例1] {
}是正數(shù)組成的數(shù)列,其前n項和為
,并且對于所有的自然數(shù)
,與2的等差中項等于與2的等比中項.
(1)寫出數(shù)列{}的前3項;
(2)求數(shù)列{}的通項公式(寫出推證過程);
錯解：由(1)猜想數(shù)列{}有通項公式=4-2.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列{}的通項公式是
=4-2. (∈N).
①當(dāng)=1時,因為4×1-2=2,又在(1)中已求出
=2,所以上述結(jié)論成立.
②假設(shè)n=k時結(jié)論成立,即有
=4
-2.由題意,有
將=4-2代入上式，得
，解得
由題意,有
將代入，化簡得
解得
.∴
這就是說,當(dāng)n=k+1時,上述結(jié)論成立.
根據(jù)①、②,上述結(jié)論對所有的自然數(shù)n成立.
錯因在于解題過程中忽視了取值的取舍.
正解：由(1)猜想數(shù)列{an}有通項公式an=4n-2.
猜想數(shù)列{}有通項公式=4-2.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列{}的通項公式是
=4-2. (∈N).
①當(dāng)=1時,因為4×1-2=2,又在(1)中已求出=2,所以上述結(jié)論成立.
②假設(shè)n=k時結(jié)論成立,即有=4-2.由題意,有
將=4-2代入上式，得，解得
由題意,有
將代入，化簡得
解得.由
∴
這就是說,當(dāng)n=k+1時,上述結(jié)論成立.
根據(jù)①、②,上述結(jié)論對所有的自然數(shù)n成立.
[例2] 用數(shù)學(xué)歸納法證明對于任意自然數(shù)
，
錯解：證明：假設(shè)當(dāng)
(
N)時，等式成立，
即
，
那么當(dāng)
時，
這就是說，當(dāng)時，等式成立．
可知等式對任意N成立．
錯因在于推理不嚴(yán)密，沒有證明當(dāng)
的情況 ．
正解：證明：(1)當(dāng)時，左式
，右式
，所以等式成立．
(2)假設(shè)當(dāng)(
)時，等式成立，
即，
那么當(dāng)時，
這就是說，當(dāng)時，等式成立．
由(1)、(2)，可知等式對任意N成立．
[例3] 是否存在自然數(shù)
，使得
對任意自然數(shù)，都能被
整除，若存在，求出的最大值，并證明你的結(jié)論；若不存在，說明理由．
分析 本題是開放性題型，先求出
，
，
…再歸納、猜想、證明．
解：
，
，
，
……
猜想， 
能被36整除，用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
(1)當(dāng)時，
，能被36整除．
(2)假設(shè)當(dāng)
，(N)時，
能被36整除．
那么，當(dāng)時，
由歸納假設(shè)，
能被36整除，
當(dāng)
為自然數(shù)時，
為偶數(shù)，則
能被36整除．
∴ 
能被36整除，
這就是說當(dāng)時命題成立．
由(1)、(2)對任意
，
都能被36整除．
當(dāng)取大于36的自然數(shù)時，
不能被整除，所以36為最大．
[例4] 設(shè)點(diǎn)
是曲線C：
與直線
的交點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線交
軸于
，過點(diǎn)作直線的平行線交曲線C于
，再過點(diǎn)作的垂線作交X軸于
，如此繼續(xù)下去可得到一系列的點(diǎn)
，
，…，
，…如圖，試求的橫坐標(biāo)
的通項公式．
分析 本題并沒有指明求通項公式的方法，可用歸納--猜想--證明的方法，也可以通過尋求與
的遞推關(guān)系式求的通項公式．
解：解法一 
與
(
，
)聯(lián)立，解得
直線
的方程為
， 令
，得
，所以點(diǎn)
直線
的方程為
與聯(lián)立，消元得
()，解得
， 所以點(diǎn)
(
，
)．
直線
的方程為
，
令，得
，所以點(diǎn)
同樣可求得點(diǎn)
(
，0)
……
由此推測(
，0)，即
用數(shù)學(xué)歸納法證明
(1)當(dāng)時，由點(diǎn)的坐標(biāo)為(
，0)，
即
，所以命題成立．
(2)假設(shè)當(dāng)時命題成立，
即
，0)，則當(dāng)時，
由于直線
的方程為
，
把它與(，)聯(lián)立，
消去
可得
()，
∴ 
于是 
即點(diǎn)
的坐標(biāo)為(
，
)．
∴ 直線
的方程為
令得，
即
點(diǎn)的坐標(biāo)為(
，0)
∴ 當(dāng)時，命題成立．
解法二 設(shè)點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為(
，0)、(，0)，
建立與的遞推關(guān)系
，即
，
由數(shù)列
是等差數(shù)列，且
，公差
可求得
()，
．
用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)n有關(guān)的幾何命題，由k過渡到k+1常利用幾何圖形來分析圖形前后演變情況．
[例5] 有n個圓，其中每兩個圓都相交于兩點(diǎn)，并且每三個圓都不相交于同一點(diǎn)，求證：這n個圓把平面分成f(n)＝n2-n+2個部分．
證明①當(dāng)n＝1時，即一個圓把平面分成二個部分f(1)=2
又n＝1時，n2-n+2＝2，∴命題成立
②假設(shè)n＝k時，命題成立，即k個圓把平面分成f(k)＝k2-k+2個
部分，那么設(shè)第k+1個圓記⊙O，由題意，它與k個圓中每個圓
交于兩點(diǎn)，又無三圓交于同一點(diǎn)，于是它與其它k個圓相交于2k
個點(diǎn)．把⊙O分成2k條弧而每條弧把原區(qū)域分成2塊，因此這平
面的總區(qū)域增加2k塊，即f(k+1)＝k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2
即n＝k+1時命題成立．
由①②可知對任何n∈N命題均成立．
說明: 本題如何應(yīng)用歸納假設(shè)及已知條件，其關(guān)鍵是分析k增加“1”時，研究第k+1個圓與其它k個圓的交點(diǎn)個數(shù)問題．
[例6] 已知n≥2，n∈N
②假設(shè)n=k時，原不等式成立．
由①②可知，對任何n∈N(n≥2)，原不等式均成立．
3. 數(shù)學(xué)歸納法是一種證明方法，歸納推理是一種推理方法.
2. 應(yīng)用反證法證明命題的邏輯依據(jù)：做出與命題結(jié)論相矛盾的假定，由假定出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾的結(jié)果
1.歸納推理是根據(jù)一類事物的部分對象具有某種性質(zhì)，推出這類事物的所有對象都具有這種性質(zhì)的推理.
而類比推理是根據(jù)兩類不同事物之間具有某些類似性，推出其中一類事物具有另一類事物類似的性質(zhì)的推理.
14. 數(shù)學(xué)歸納法的步驟：
(1)證明當(dāng)
(如
或2等)時，結(jié)論正確；
(2)假設(shè)
時結(jié)論正確，證明
時結(jié)論也正確．
13. 數(shù)學(xué)歸納法：設(shè){pn}是一個與自然數(shù)相關(guān)的命題集合，如果⑴證明起始命題p1成立；⑵在假設(shè)pk成立的前提上，推出pk+1也成立，那么可以斷定，{pn}對一切正整數(shù)成立.
12. 應(yīng)用反證法證明命題的一般步驟：⑴分清命題的條件和結(jié)論；⑵做出與命題結(jié)論相矛盾的假定；⑶由假定出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾的結(jié)果；⑷間接證明命題為真.
11. 反證法：判定非q為假，推出q為真的方法.
10. 綜合法：從結(jié)果追溯到產(chǎn)生這一結(jié)果的原因的思維方法.
9. 分析法：從原因推導(dǎo)到結(jié)果的思維方法.
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