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2.分析法與綜合法是對立統(tǒng)一的兩個方面，前者執(zhí)果索因，利于思考，因為它方向明確，思路自然，易于掌握；后者是由因?qū)Ч�，宜于表述，因為它條理清晰，形式簡潔，適合人們的思維習慣.但是，用分析法探求證明不等式，只是一種重要的探求方式，而不是一種好的書寫形式，因為它敘述較繁，如果把“只需證明”等字眼不寫，就成了錯誤.而用綜合法書寫的形式，它掩蓋了分析、探索的過程.因而證明不等式時，分析法、綜合法常常是不能分離的.如果使用綜合法證明不等式，難以入手時常用分析法探索證題的途徑，之后用綜合法形式寫出它的證明過程，以適應人們習慣的思維規(guī)律.還有的不等式證明難度較大，需一邊分析，一邊綜合，實現(xiàn)兩頭往中間靠以達到證題的目的.這充分表明分析與綜合之間互為前提、互相滲透、互相轉化的辯證統(tǒng)一關系.分析的終點是綜合的起點，綜合的終點又成為進一步分析的起點.

1.在用商值比較法證明不等式時，要注意分母的正、負號，以確定不等號的方向.

5.換元法：換元法是對一些結構比較復雜，變量較多，變量之間的關系不甚明了的不等式可引入一個或多個變量進行代換，以便簡化原有的結構或?qū)崿F(xiàn)某種轉化與變通，給證明帶來新的啟迪和方法.主要有兩種換元形式.(1)三角代換法：多用于條件不等式的證明，當所給條件較復雜，一個變量不易用另一個變量表示，這時可考慮三角代換，將兩個變量都有同一個參數(shù)表示.此法如果運用恰當，可溝通三角與代數(shù)的聯(lián)系，將復雜的代數(shù)問題轉化為三角問題； (2)增量換元法：在對稱式(任意交換兩個字母，代數(shù)式不變)和給定字母順序(如a>b>c等)的不等式，考慮用增量法進行換元，其目的是通過換元達到減元，使問題化難為易，化繁為簡.如a+b=1，可以用a=1-t，b=t或a=1/2+t，b=1/2-t進行換元.

4.反證法：有些不等式的證明，從正面證不好說清楚，可以從正難則反的角度考慮，即要證明不等式A>B，先假設A≤B，由題設及其它性質(zhì)，推出矛盾，從而肯定A>B.凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等詞語時，可以考慮用反證法.

3.分析法：是指從需證的不等式出發(fā)，分析這個不等式成立的充分條件，進而轉化為判定那個條件是否具備，其特點和思路是“執(zhí)果索因”，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”.用分析法證明書寫的模式是：為了證明命題B成立，只需證明命題B1為真，從而有…，這只需證明B2為真，從而又有…，……這只需證明A為真，而已知A為真，故B必為真.這種證題模式告訴我們，分析法證題是步步尋求上一步成立的充分條件.

2.綜合法：利用已知事實(已知條件、重要不等式或已證明的不等式)作為基礎，借助不等式的性質(zhì)和有關定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后推出所要證明的不等式，其特點和思路是“由因?qū)Ч�”，從“已知”看“需知”，逐步推出“結論”.即從已知A逐步推演不等式成立的必要條件從而得出結論B.

1.比較法：比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是兩個實數(shù)大小順序和運算性質(zhì)的直接應用，比較法可分為差值比較法(簡稱為求差法)和商值比較法(簡稱為求商法).

(1)差值比較法的理論依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)：“a-b≥0a≥b；a-b≤0a≤b”.其一般步驟為：①作差：考察不等式左右兩邊構成的差式，將其看作一個整體；②變形：把不等式兩邊的差進行變形，或變形為一個常數(shù)，或變形為若干個因式的積，或變形為一個或幾個平方的和等等，其中變形是求差法的關鍵，配方和因式分解是經(jīng)常使用的變形手段；③判斷：根據(jù)已知條件與上述變形結果，判斷不等式兩邊差的正負號，最后肯定所求證不等式成立的結論.應用范圍：當被證的不等式兩端是多項式、分式或?qū)��?shù)式時一般使用差值比較法.

(2)商值比較法的理論依據(jù)是：“若a，b∈R⁺，a/b≥1a≥b；a/b≤1a≤b”.其一般步驟為：①作商：將左右兩端作商；②變形：化簡商式到最簡形式；③判斷商與1的大小關系，就是判定商大于1或小于1.應用范圍：當被證的不等式兩端含有冪、指數(shù)式時，一般使用商值比較法.

6．在約束條件下，當時，目標函數(shù)

　 的最大值的變化范圍是

　 A.[6,15]　　　　　　　　 B.[7,15]

C.[6,8]　　　　　　　　　 D.[7,8]

§5.3 基本不等式的證明

5.某工廠家具車間造A、B型兩類桌子，每張桌子需木工和漆工兩道工序完成.已知木工做一張A、B型桌子分別需要1小時和2小時，漆工油漆一張A、B型桌子分別需要3小時和1小時；又知木工、漆工每天工作分別不得超過8小時和9小時，而工廠造一張A、B型桌子分別獲利潤2千元和3千元，試問工廠每天應生產(chǎn)A、B型桌子各多少張，才能獲得利潤最大？

4.某工廠用兩種不同原料均可生產(chǎn)同一產(chǎn)品，若采用甲種原料，每噸成本1000元，運費500元，可得產(chǎn)品90千克；若采用乙種原料，每噸成本為1500元，運費400元，可得產(chǎn)品100千克，如果每月原料的總成本不超過6000元，運費不超過2000元，那么此工廠每月最多可生產(chǎn)多少千克產(chǎn)品？