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4.在△ABC中，A=105°，C=45°,AB=，則AC=　　　　 .

答案　 1

3.如圖所示，已知梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=3CD，M，N分別是AB，CD的中點，設=e₁, =e₂,　

可表示為　　　　　　 (用e₁,e₂表示).

答案　 e₂-e₁

2.向量a,b滿足|a|=1,|b|=,(a+b)⊥(2a-b),則向量a與b的夾角為　　　　 .

答案　 90°

1.(2008·遼寧理)已知O、A、B是平面上的三個點，直線AB上有一點C，滿足2+ =0，則

=　　　　　 (用、表示).

答案　 2-

12.已知ABCD是平行四邊形，P點是ABCD所在平面外的一點，連接PA、PB、PC、PD.設點E、F、G、H分別為△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心.

(1)試用向量方法證明E、F、G、H四點共面；

(2)試判斷平面EFGH與平面ABCD的位置關系，并用向量方法證明你的判斷.

(1)證明　 分別延長PE、PF、PG、PH交對邊于M、N、Q、R點，因為E、F、G、H分別是所在三角形的重心，所以M、N、Q、R為所在邊的中點，順次連接M、N、Q、R得到的四邊形為平行四邊形，且有=，

=，=， =

∴=+

=(-)+(-)

=(-)+(-)

=(+)

又∵=-=-=

∴=(+),∴=+

由共面向量定理知：E、F、G、H四點共面.

(2)解　 由(1)得=,故∥.

又∵平面ABC，EG平面ABC.

∴EG∥平面ABC.

又∵=-=-=

∴MN∥EF，又∵MN平面ABC，EF平面ABC，

EF∥平面ABC.

∵EG與EF交于E點，

∴平面EFGH∥平面ABCD.

11.如圖所示，在空間直角坐標系中BC=2，原點O是BC的中點，點A的坐標是(，，0)，點D在平面yOz內，且∠BDC=90°，∠DCB=30°.

(1)求的坐標；

(2)設和的夾角為，求cos的值.

解　 (1)如圖所示，過D作DE⊥BC，垂足為E，

在Rt△BDC中，由∠BDC=90°，∠DCB=30°，BC=2，

得BD=1，CD=.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴DE=CD·sin30°=.

OE=OB-BD·cos60°=1-=.

∴D點坐標為(0，-，)，

即的坐標為(0，-，).

(2)依題意：=(，，0)，

=(0，-1，0)，=(0，1，0).

∴=- =(-，-1，)，

=- =(0，2，0).

設和的夾角為，

則cos=

=

==-.

∴cos=-.

10.如圖所示，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，M為AA₁的中點，N為A₁B₁上的點，且滿足A₁N=NB₁，P為底面正方形A₁B₁C₁D₁的中心.求證：MN⊥MC，MP⊥B₁C.

證明　 設=a，=b，=c

則a、b、c兩兩垂直且模相等.

∴a·b=b·c=a·c=0，

又∵=NB₁

∴==b，

=+=a+b,

=++=-a+b+c,

∴·=(a+b)·(b+c-a)

=- =0.

∴MN⊥MC，

又=+ =+(b+c)=(a+b+c)，

=+=-a+c.

∴·=(a+b+c)(c-a)=0.∴MP⊥B₁C.

9.如圖所示，平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，以頂點A為端點的三條棱長度都為1，且兩

兩夾角為60°.

(1)求AC₁的長；

(2)求BD₁與AC夾角的余弦值.

解　 記=a，=b，=c，

則|a|=|b|=|c|=1，〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°,

∴a·b=b·c=c·a=.

(1)||²=(a+b+c)²

=a²+b²+c²+2(a·b+b·c+c·a)

=1+1+1+2×(++)=6,

∴||=,即AC₁的長為.

(2)=b+c-a,=a+b,

∴||=,||=,

·=(b+c-a)·(a+b)

=b²-a²+a·c+b·c=1.

∴cos〈,〉==.

∴AC與BD₁夾角的余弦值為.

8.已知a=(1-t，1-t，t)，b=(2，t，t)，則|b-a|的最小值為　　　 .

答案　

7.如圖所示，已知空間四邊形ABCD，F為BC的中點，E為AD的中點，若=(+)，則　

=　　　 .

答案