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3．函數的圖象關于直線對稱．則_____________．

2．已知函數的定義域和值域都是，則實數a的值是　 ________

1．函數的定義域是____________________．

補充：⑴=是以(,)為頂點、對稱軸平行于y軸、開口向上的拋物線(如圖);它的單調區(qū)間是(-,]與[,+ );它在(-,]上是減函數，在[,+ )上是增函數. 　

證明：設<,則

－=--5(-)

=(+-5) (-)

∵<,∴+<5，-<0，

∴－>0,即 > ..

∴=-5+6在(-,]上是減函數.

類似地，可以證明在[,+)上是增函數.

⑵=-+9的圖象是以(0,9)為頂點、軸為對稱軸、開口向下的一條拋物線(如圖)；它的單調區(qū)間是(-,0]與[0,+)，它在(-,0]上是增函數，在[0,+)上是減函數.

證明：設<0,則－=-+=(+) (-)

∵<0,∴+<0，->0，

∴－<0,即<

.∴=9-在(-,0]上是增函數.

類似地，可以證明在[0,+)上是減函數.

⒉根據定義證明函數單調性的一般步驟是：⑴設,是給定區(qū)間內的任意兩個值，且<；⑵作差－，并將此差式變形(要注意變形的程度)；⑶判斷－的正負(要注意說理的充分性)；⑷根據－的符號確定其增減性.

答案：的單調區(qū)間有[-2,-1]，[-1,0]，[0,1]，[1,2]；在區(qū)間[-2,-1]，[0,1]上是增函數，在區(qū)間[-1,0]，[1,2]上是減函數.

的單調區(qū)間有[-,-]，[-,]，[, ]；在區(qū)間[-,-]，[，]上是減函數，在區(qū)間[-，]上是增函數.

說明：要了解函數在某一區(qū)間是否具有單調性，從圖象上進行觀察是一種常用而又較為粗略的方法，嚴格地說，它需要根據增(減)函數的定義進行證明，下面舉例說明.

2判斷函數在R上是增函數還是減函數？并證明你的結論.

解：設,∈R，且<，

∵－=(-3+2)-(-3+2)=3(-),

又<,∴－>0,即 > .

∴在R上是減函數.

3判斷函數=在(-,0)上是增函數還是減函數并證明你的結論.

解：設,∈(-，0)，且<，

∵－=－==,

由,∈(-，0)，得>0,

又由<,得－>0 ,于是－>0,即 > .

∴= 在(0,+ )上是減函數.

能否說函數= 在(-，+)上是減函數？

答：不能. 因為=0不屬于= 的定義域.

說明：通過觀察圖象，對函數是否具有某種性質，作出猜想，然后通過推理的辦法，證明這種猜想的正確性，是發(fā)現(xiàn)和解決問題的一種常用數學方法.

4 ⑴ 判斷函數在R上的單調性，并說明理由.

⑵ 課本P60練習：4.

解：⑴設,∈R，且<,

則－=(k+b)-(k+b)=k(-).

若k>0，又<,∴－<0,即 <

.∴在R上是增函數.

若k<0，又<,∴－>0,即 > .

∴在R上是減函數.

⑵設,∈(0,+)，且<，

∵－=(+1)-(+1)= -=(+) (-)

　∵0<<,∴+>0，-<0，

∴－<0,即<，

∴=+1在(0,+)上是增函數.

例1 如圖6是定義在閉區(qū)間[-5，5]上的函數的圖象，根據圖象說出的單調區(qū)間，以及在每一單調區(qū)間上，函數是增函數還是減函數.

解：函數的單調區(qū)間有[-5，-2)，[-2，1)，[1，3)，[3，5]，其中在區(qū)間[-5，-2)，[1，3)上是減函數，在區(qū)間[-2，1)，[3，5]上是增函數.

說明：函數的單調性是對某個區(qū)間而言的，對于單獨的一點，由于它的函數值是唯一確定的常數，因而沒有增減變化，所以不存在單調性問題；另外，中學階段研究的主要是連續(xù)函數或分段連續(xù)函數，對于閉區(qū)間上的連續(xù)函數來說，只要在開區(qū)間上單調，它在閉區(qū)間上也就單調，因此，在考慮它的單調區(qū)間時，包括不包括端點都可以；還要注意，對于在某些點上不連續(xù)的函數，單調區(qū)間不包括不連續(xù)點.

例2 證明函數在R上是增函數.

證明：設是R上的任意兩個實數，且<，則

－=(3+2)-(3+2)=3(－),

由<x,得－<0 ,于是－<0,即 <.

∴在R上是增函數.

例3 證明函數在(0,+)上是減函數.

證明：設,是(0,+)上的任意兩個實數，且<，

則－=－=,

由,∈(0,+ )，得>0,

又由<,得－>0 ,于是－>0,即>

∴在(0,+ )上是減函數.

例4．討論函數在(-2,2)內的單調性.

解：∵，對稱軸

∴若,則在(-2,2)內是增函數；

若則在(-2,a)內是減函數,在[a,2]內是增函數

若,則在(-2,2)內是減函數.

⒈ 增函數與減函數

定義：對于函數的定義域I內某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值，⑴若當<時，都有<,則說在這個區(qū)間上是增函數(如圖3)；⑵若當<時，都有>,則說在這個區(qū)間上是減函數(如圖4).

說明：函數是增函數還是減函數，是對定義域內某個區(qū)間而言的.有的函數在一些區(qū)間上是增函數，而在另一些區(qū)間上不是增函數.例如函數(圖1)，當∈[0,+)時是增函數，當∈(-,0)時是減函數.

⒉ 單調性與單調區(qū)間

若函數y=f(x)在某個區(qū)間是增函數或減函數，則就說函數在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調性，這一區(qū)間叫做函數的單調區(qū)間.此時也說函數是這一區(qū)間上的單調函數.

在單調區(qū)間上，增函數的圖象是上升的，減函數的圖象是下降的.

說明：⑴函數的單調區(qū)間是其定義域的子集；

⑵應是該區(qū)間內任意的兩個實數，忽略需要任意取值這個條件，就不能保證函數是增函數(或減函數)，例如，圖5中，在那樣的特定位置上，雖然使得>，但顯然此圖象表示的函數不是一個單調函數；

⑶除了嚴格單調函數外，還有不嚴格單調函數，它的定義類似上述的定義，只要將上述定義中的“<或>, ”改為“ 或,”即可；

⑷定義的內涵與外延：

內涵是用自變量的大小變化來刻劃函數值的變化情況；

外延①一般規(guī)律：自變量的變化與函數值的變化一致時是單調遞增，自變量的變化與函數值的變化相對時是單調遞減.

②幾何特征：在自變量取值區(qū)間上，若單調函數的圖象上升，則為增函數，圖象下降則為減函數.

⒈ 復習：我們在初中已經學習了函數圖象的畫法.為了研究函數的性質，我們按照列表、描點、連線等步驟先分別畫函數和的圖象. 的圖象如圖1，的圖象如圖2.

⒉ 引入：從函數的圖象(圖1)看到：

圖象在軸的右側部分是上升的，也就是說，當在區(qū)間[0，+)上取值時，隨著的增大,相應的值也隨著增大，即如果取∈[0，+)，得到=,=,那么當<時，有<.

這時我們就說函數==在[0,+ )上是增函數.

圖象在軸的左側部分是下降的，也就是說，

當在區(qū)間(-，0)上取值時，隨著的增大，

相應的值反而隨著減小，即如果取∈(-，0)，得到=,=,那么當<時，有>.

這時我們就說函數==在(-,0)上是減函數.

函數的這兩個性質，就是今天我們要學習討論的.