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10.如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是線(xiàn)段EF的中點(diǎn).

求證：

(1)AM∥平面BDE；

(2)AM⊥平面BDF.

證明　 (1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)AC∩BD=N，連接NE.

則點(diǎn)N、E的坐標(biāo)分別為、(0，0，1).

∴=.

又點(diǎn)A、M的坐標(biāo)分別是

(，，0)、，

∴=.

∴=且NE與AM不共線(xiàn).∴NE∥AM.

又∵NE平面BDE，AM平面BDE，

∴AM∥平面BDE.

(2)由(1)知=，

∵D(，0，0)，F(xiàn)(，，1)，∴=(0，，1).

∴·=0.∴⊥.

同理⊥.又DF∩BF=F，∴AM⊥平面BDF.

9.已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分別為BB₁、C₁D₁的中點(diǎn)，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求平面AMN的法向量.

解　 以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD₁所在直線(xiàn)為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系.(如圖所示).

設(shè)棱長(zhǎng)為1，則A(1，0，0)，M(1，1，)，N(0，，1).

∴=(0，1，)，=(-1，，1).

設(shè)平面AMN的法向量n=(x，y，z)

∴

令y=2，∴x=-3，z=-4.∴n=(-3，2，-4).

∴(-3，2，-4)為平面AMN的一個(gè)法向量.

8.若|a|=,b=(1,2,-2),c=(2,3,6),且a⊥b,a⊥c,則a=　　　　　 .

答案　 或

7.若A(0，2，)，B(1，-1，)，C(-2，1，)是平面內(nèi)三點(diǎn)，設(shè)平面的法向量a=(x,y,z),則x∶y∶z=　　　 .

答案　 2∶3∶(-4)

6.下列四個(gè)正方體圖形中，A、B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M、N、P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出AB∥平面MNP的圖形的序號(hào)是　　　　　 .

答案　 ①④

5.設(shè)點(diǎn)C(2a+1，a+1，2)在點(diǎn)P(2，0，0)、A(1，-3，2)、B(8，-1，4)確定的平面上，則a=　　　　 .

答案　 16

4.已知=(1，5，-2)，=(3，1，z)，若⊥，=(x-1，y，-3)，且⊥平面ABC，則實(shí)數(shù)x，y，z分別為　　　　 .

答案　 ，-，4

3.已知A(1，0，0)、B(0，1，0)、C(0，0，1)，則平面ABC的一個(gè)單位法向量是　　　　 (寫(xiě)出一個(gè)即可).

答案　

2.已知=(2，4，5)，=(3，x，y)，若∥，則x=　　　　　 ,y=　　　　　 .

答案　 6　

1.若平面、的法向量分別為n₁=(2，3，5)，n₂=(-3,1,-4),則，的位置關(guān)系是　　　　 (用“平行”，“垂直”，“相交但不垂直”填空).

答案　 相交但不垂直