Question

16．小明在探究問題“正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)E到A、B、C三點(diǎn)的距離之和的最小值”時(shí)，由于EA、EB、EC比較分散，不便解決．于是將△ABE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△A′BE′，連接EE′．
（1）△EBE′是等邊三角形；
（2）若正方形ABCD的邊長為2，則AE+BE+CE的最小值是$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BE=BE′，∠EBE′=60°，則利用等邊三角形的判定可判斷△EBE′為等邊三角形；
（2）連結(jié)A′C，如圖，由△EBE′為等邊三角形得到EE′=BE，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得A′E′=AE，BA′=BA=2，∠ABA′=60°，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得A′E′+E′E+EC≥A′C，所以AE+BE+CE≥AC（當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)E′、點(diǎn)E在AC上時(shí)，取等號），則AE+BE+CE有最小值，最小值為A′C的長，作A′H⊥BC于H，如圖，先在Rt△A′BH中，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到A′H=$\frac{1}{2}$A′B=1，BH=$\sqrt{3}$A′H=$\sqrt{3}$，然后在Rt△A′CH中，利用勾股定理可計(jì)算出A′C=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$，于是得到AE+BE+CE的最小值是$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$．

解答 解：（1）∵△ABE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△A′BE′，
∴BE=BE′，∠EBE′=60°，
∴△EBE′為等邊三角形；
（2）連結(jié)A′C，如圖，
∵△EBE′為等邊三角形，
∴EE′=BE，
∵△ABE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△A′BE′，
∴A′E′=AE，BA′=BA=2，∠ABA′=60°，
∵A′E′+E′E+EC≥A′C，
∴AE+BE+CE≥AC（當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)E′、點(diǎn)E在AC上時(shí)，取等號），
∴AE+BE+CE有最小值，最小值為A′C的長，
作A′H⊥BC于H，如圖，
在Rt△A′BH中，∠A′BH=30°，
∴A′H=$\frac{1}{2}$A′B=1，BH=$\sqrt{3}$A′H=$\sqrt{3}$，
∴CH=2+$\sqrt{3}$，
在Rt△A′CH中，A′C=$\sqrt{A′{H}^{2}+C{H}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（2+\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{8+4\sqrt{3}}$=$\sqrt{（\sqrt{6}+\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$．
∴AE+BE+CE的最小值是$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$．
故答案為：等邊，$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理．