Question

8．有許多代數(shù)恒等式可以用圖形的面積來表示，如圖①，它表示了（2m+n）（m+n）=2m²+3mn+n²
（1）圖②是將一個長2m、寬2n的長方形，沿圖中虛線平方為四塊小長方形，然后再拼成一個正方形（圖③），則圖③中的陰影部分的正方形的邊長等于m-n（用含m、n的代數(shù)式表示）
（2）請用兩種不同的方法列代數(shù)式表示圖③中陰影部分的面積．
方法①（m+n）²-4mn          方法②（m-n）²
（3）請你觀察圖形③，寫出三個代數(shù)式（m+n）²、（m-n）²、mn關(guān)系的等式：（m-n）²=（m+n）²-4mn；
（4）根據(jù)（3）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：若已知x+y=7，xy=10，則（x-y）²=9；
（5）小明用8個一樣大的長方形（長acm，寬bcm）拼圖，拼出了如圖甲、乙的兩種圖案，圖案甲是一個正方形，圖案乙是一個大的長方形，圖案甲的中間留下了邊長是2cm的正方形小洞．則（a+2b）²-8ab的值為4cm²．

Answer 1

分析 （1）陰影部分的正方形的邊長為m-n；
（2）方法①：陰影部分的面積=大正方形的面積-4個小長方形的面積；方法②：表示出小正方形的邊長為m-n，即可解答；
（3）大正方形的面積減去4個小長方形的面積即可得出陰影部分的面積，也可得出三個代數(shù)式（m+n）²、（m-n）²、mn之間的等量關(guān)系；
（4）根據(jù)（3）所得出的關(guān)系式，可求出（x-y）²的值；
（5）利用圖形面積之間關(guān)系得出（a+2b）²-8ab=（a-2b）²即可求出．

解答 解：（1）陰影部分的正方形的邊長為m-n；
故答案為：m-n．
（2）方法①：陰影部分的面積=大正方形的面積-4個小長方形的面積，
所以陰影部分的面積為：（m+n）²-4mn；
方法②：表示出小正方形的邊長為m-n，
所以陰影部分的面積=（m-n）²．
故答案為：（m+n）²-4mn；（m-n）²．
（3）（m-n）²=（m+n）²-4mn；
故答案為：（m-n）²=（m+n）²-4mn．
（4）（x-y）²=（x+y）²-4xy=7²-4×10=9；
故答案為：9．
（5）∵（a+2b）²-8ab=（a-2b）²=2²=4（cm²），
∴（a+2b）²-8ab的值為4cm²．
故答案為：4cm²．

點評 本題考查了完全平方公式的幾何背景，屬于基礎(chǔ)題，注意仔細(xì)觀察圖形，表示出各圖形的面積是關(guān)鍵．