Question

6．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AC=BC，D為弧AB上一點(diǎn)，延長DA至E，使CE=CD．
（1）求證：∠ACE=∠BCD．
（2）若AD+BD=$\sqrt{3}$CD，求∠ACB的大�。�

Answer 1

分析 （1）只要證明△CED和△CAB是底角相等的兩個(gè)等腰三角形即可解決問題．
（2）如圖2中，作CM⊥BD于M，CN⊥DE于N．首先證明△CDM≌△CDN，可得DM=DN，CM=CM，由Rt△CMB≌Rt△CNA中，得到AN=BM，由AD+BC=AD+DM+BM=AD+DM+AN=DN+DM=2DM，推出AD+BD=$\sqrt{3}$CD，即2DM=$\sqrt{3}$CD，推出$\frac{DM}{CD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，再由cos∠CDM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，推出∠CDM=30°，由此即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖1中，

∵CA=CB，CE=CD，
∴∠CAB=∠CBA，∠CED=∠CDE，
∵∠CBA=∠CDE，
∴∠CEA=∠CDE=∠CAB=∠CBA，
∵∠ECD=180°-∠CED-∠CDE，∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA，
∴∠ECD=∠ACB，
∴∠ACE=∠BCD．

（2）解：如圖2中，作CM⊥BD于M，CN⊥DE于N．

∵CA=CB，
∴∠CAB=∠CBA，
∵∠DCB=∠CAB，∠ADC=∠CBA，
∴∠CDE=∠CDB，
在△CDM和△CDN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDN=∠CDM}\\{∠CMD=∠CND=90°}\\{CD=CD}\end{array}\right.$，
∴△CDM≌△CDN，
∴DM=DN，CM=CM，
在Rt△CMB和Rt△CNA中，
$\left\{\begin{array}{l}{CM=CN}\\{CB=CA}\end{array}\right.$，
∴AN=BM，
∴AD+BC=AD+DM+BM=AD+DM+AN=DN+DM=2DM，
∵AD+BD=$\sqrt{3}$CD，
∴2DM=$\sqrt{3}$CD，
∴$\frac{DM}{CD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴cos∠CDM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠CDM=30°，
∴∠CAB=∠CBA=30°，
∴∠ACB=120°．

點(diǎn)評 本題考查三角形的外接圓與外心、全等三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，題目比較難，屬于中考?jí)狠S題．