Question

7．如圖①已知拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸是y軸，求經(jīng)過點（0，-1）（2，0）
（1）求該拋物線的解析式；
（2）如圖②，點P是拋物線上任意一點，過點P作直線l：y=-2的垂線，垂足為Q，求證：PO=PQ；
（3）請你參考（2）中結(jié)論解決下列問題
①如圖③，過原點任意作直線AB，交拋物線y=ax²+bx+c于點A，B，分別過A，B兩點作之下l的垂線，垂足分別是點M，N．連結(jié)ON，OM，求證：ON⊥OM；
②如圖④，在圖中有一點D（1，1），試探究在該拋物線上是否存在點F，使得FD+FO取得最小值？若存在，求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸是y軸，就可以得出-$\frac{2a}$=0，由待定系數(shù)法求可以求出拋物線的解析式；
（2）由（1）設出P的坐標，可得PE和OE的值，從而用勾股定理求出PO的值，和PQ=PE+EQ的值進行對比即得出結(jié)論；
（3）①由（2）的結(jié)論就可以得出BO=BN，AO=AM，由三角形的內(nèi)角和定理及平行線的性質(zhì)就可以求出∠MON=90°而得出結(jié)論；
②如圖③，作F′H⊥l于H，DF⊥l于G，交拋物線與F，作F′E⊥DG于E，由（2）的結(jié)論和根據(jù)矩形的性質(zhì)可以得出結(jié)論．

解答 解：（1）由題意，得
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2a}=0}\\{c=-1}\\{4a+2b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=0}\\{c=-1}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為：y=$\frac{1}{4}$x²-1；

（2）如圖②，設P（a，$\frac{1}{4}$a²-1），則OE=a，PE=$\frac{1}{4}$a²-1，
∵PQ⊥l，
∴EQ=2，
∴QP=$\frac{1}{4}$a²+1．
在Rt△POE中，由勾股定理，得
PO=$\sqrt{{a}^{2}+（\frac{1}{4}{a}^{2}-1）^{2}}$=$\frac{1}{4}$a²+1，
∴PO=PQ；

（3）①如圖③，∵BN⊥l，AM⊥l，
∴BN=BO，AM=AO，BN∥AM，
∴∠BNO=∠BON，∠AOM=∠AMO，∠ABN+∠BAM=180°．
∵∠BNO+∠BON+∠NBO=180°，∠AOM+∠AMO+∠OAM=180°，
∴∠BNO+∠BON+∠NBO+∠AOM+∠AMO+∠OAM=360°
∴2∠BON+2∠AOM=180°，
∴∠BON+∠AOM=90°，
∴∠MON=90°，
∴ON⊥OM；
②如圖④，

作F′H⊥l于H，DF⊥l于G，交拋物線與F，作F′E⊥DG于E，
∴∠EGH=∠GHF′=∠F′EG=90°，F(xiàn)O=FG，F(xiàn)′H=F′O，
∴四邊形GHF′E是矩形，F(xiàn)O+FD=FG+FD=DG，F(xiàn)′O+F′D=F′H+F′D
∴EG=F′H，
∴DE＜DF′，
∴DE+GE＜HF′+DF′，
∴DG＜F′O+DF′，
∴FO+FD＜F′O+DF′，
∴F是所求作的點．
∵D（1，1），
∴F的橫坐標為1，
∴F（1，-$\frac{3}{4}$）．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，勾股定理的運用，平行線的性質(zhì)的運用，等腰三角形的性質(zhì)的運用，垂直的判定及性質(zhì)的運用，解答時求出函數(shù)的解析式是關鍵．