Question

11．【問(wèn)題情境】如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，我們可以利用△ABC與△ACD相似證明AC²=AD•AB，這個(gè)結(jié)論我們稱(chēng)之為射影定理，試證明這個(gè)定理；
【結(jié)論運(yùn)用】如圖2，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，點(diǎn)E在CD上，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BE，垂足為F，連接OF，
（1）試?yán)�用射影定理證明△BOF∽△BED；
（2）若DE=2CE，求OF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 【問(wèn)題情境】通過(guò)證明Rt△ACD∽R(shí)t△ABC得到AC：AB=AD：AC，然后利用比例性質(zhì)即可得到AC²=AD•AB；
【結(jié)論運(yùn)用】（1）根據(jù)射影定理得BC²=BO•BD，BC²=BF•BE，則BO•BD=BF•BE，即$\frac{BO}{BE}$=$\frac{BF}{BD}$，加上∠OBF=∠EBD，于是可根據(jù)相似三角形的判定得到△BOF∽△BED；
（2）先計(jì)算出DE=4，CE=2，BE=2$\sqrt{10}$，OB=3$\sqrt{2}$，再利用（1）中結(jié)論△BOF∽△BED得到$\frac{OF}{DE}$=$\frac{BO}{BE}$，即$\frac{OF}{4}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{10}}$，然后利用比例性質(zhì)求OF．

解答 【問(wèn)題情境】
證明：如圖1，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
而∠CAD=∠BAC，
∴Rt△ACD∽R(shí)t△ABC，
∴AC：AB=AD：AC，
∴AC²=AD•AB；
【結(jié)論運(yùn)用】
（1）證明：如圖2，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴OC⊥BO，∠BCD=90°，
∴BC²=BO•BD，
∵CF⊥BE，
∴BC²=BF•BE，
∴BO•BD=BF•BE，
即$\frac{BO}{BE}$=$\frac{BF}{BD}$，
而∠OBF=∠EBD，
∴△BOF∽△BED；
（2）∵BC=CD=6，
而DE=CE，
∴DE=4，CE=2，
在Rt△BCE中，BE=$\sqrt{{2}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
在Rt△OBC中，OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=3$\sqrt{2}$，
∵△BOF∽△BED，
∴$\frac{OF}{DE}$=$\frac{BO}{BE}$，即$\frac{OF}{4}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{10}}$，
∴OF=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了射影定理：直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)；每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)和正方形的性質(zhì)．