Question

12．定義：如圖①，在△ABC中，CD是AB邊上的中線，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S_△ACD=S_△BCD．應(yīng)用：如圖②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點E在AD上，點F在BC上，AE=BF，AF與BE交于點O．
（1）求證：△AOB和△AOE是“友好三角形”；
（2）連接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四邊形CDOF的面積．

Answer 1

分析 （1）利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，得到四邊形ABFE是平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證得OE=OB，即可證得△AOE和△AOB是友好三角形；
（2）△AOE和△DOE是“友好三角形”，即可得到E是AD的中點，則可以求得△ABE、△ABF的面積，根據(jù)S_{四邊形CDOF}=S_矩形ABCD-2S_△ABF即可求解．

解答 （1）證明：連接EF，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∵AE=BF，
∴四邊形ABFE是平行四邊形，
∴OE=OB，
∴△AOE和△AOB是友好三角形．

（2）解：∵△AOE和△DOE是友好三角形，
∴S_△AOE=S_△DOE，AE=ED=$\frac{1}{2}$AD=3，
∵△AOB與△AOE是友好三角形，
∴S_△AOB=S_△AOE，
∵△AOE≌△FOB，
∴S_△AOE=S_△FOB，
∴S_△AOD=S_△ABF，
∴S_{四邊形CDOF}=S_矩形ABCD-2S_△ABF=4×6-2×$\frac{1}{2}$×4×3=12．

點評 本題考查了平行四邊形性質(zhì)和判定，三角形的面積，勾股定理的應(yīng)用，解這個題的關(guān)鍵是能根據(jù)已知題意和所學(xué)的定理進(jìn)行推理．題目比較好，但是有一定的難度．