Question

1．如圖，已知拋物線y=-x²+px+q的對稱軸為直線x=-3，過其頂點M的一條直線y=kx+b與該拋物線的另一個交點為N（-1，1）．若要在y軸上找一點P，使得PM+PN最小，則點P的坐標為（　�。�

• A． （0，2）
• B． （0，$\frac{5}{3}$）
• C． （0，$\frac{4}{3}$）
• D． （0，$\frac{3}{2}$）

Answer 1

分析 根據(jù)線段垂直平分線的性質，可得N，′根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)配方法，可得M點坐標，根據(jù)兩點之間線段最短，可得MN′，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應關系，可得P點坐標．

解答 解：如圖，
作N點關于y軸的對稱點N′，
連接MN′交y軸于P點，
將N點坐標代入拋物線，并聯(lián)立對稱軸，得
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{p}{-2}=-3}\\{-1-p+q=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{p=-6}\\{q=-4}\end{array}\right.$，
y=-x²-6x-4=-（x+3）²+5，
M（-3，5）．
N點關于y軸的對稱點N′（1，1），
設MN′的解析式為y=kx+b，
將M、N′代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{k+b=1}\\{-3k+b=5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
MN′的解析式為y=-x+2，
當x=0時，y=2，即P（0，2），
故選：A．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質，利用了線段垂直平分線的性質，兩點之間線段最短得出P點的坐標是解題關鍵．