Question

16．如圖，在△ABC中，∠A=∠α，△ABC的內角平分線或外角平分線交于點P，且∠P=∠β．是試求下列各圖中∠α與∠β的關系，并選擇一個加以證明．
圖（1）中∠α與∠β的關系是β=90°+$\frac{1}{2}$α
圖（2）中∠α與∠β的關系是β=$\frac{1}{2}$α
圖（3）中∠α與∠β的關系是β=90°-$\frac{1}{2}$α

Answer 1

分析 （1）可以把∠A=α，作為已知，求∠P即可．根據(jù)三角形內角和定理以及外角的性質即可求解；
（2）（3）解法相同．

解答 解：在圖（1）中，根據(jù)三角形內角和定理可得：∠ABC+∠ACB=180°-∠A．
∵BP與CP是△ABC的角平分線，
∴∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠PCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=90°-$\frac{1}{2}$α．
在△PBC中，∠BPC=180°-（∠PCB+∠PCB）=180°-（90°-$\frac{1}{2}$α）=90°+$\frac{1}{2}$α．
∴β=90°+$\frac{1}{2}$α．
故答案為：β=90°+$\frac{1}{2}$α．

如圖（2），結論：∠BPC=$\frac{1}{2}$∠A．
證明如下：
∠P=∠1-∠2=$\frac{1}{2}$（∠ACD-∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠A．
∴β=$\frac{1}{2}$α；
故答案為：β=$\frac{1}{2}$α；

如圖（3）∵BP、CP分別是△ABC兩個外角∠CBD和∠BCE的平分線，
∴∠CBP=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ACB），∠BCP=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC），
∴∠BPC=180°-∠CBP-∠BCP=180°-∠A-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），
∴∠P與∠A的關系是：∠P=180°-∠A-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=90°-$\frac{1}{2}$α，
即β=90°-$\frac{1}{2}$α．
故答案為：β=90°-$\frac{1}{2}$α．

點評 本題主要考查了三角形的內角和定理以及三角形的角平分線的定義，正確利用角平分線的性質是解題關鍵．