Question

20．閱讀下面材料：
在數(shù)學(xué)課上，老師請同學(xué)們思考如下問題：如圖2，我們把一個四邊形ABCD的四邊中點E，F(xiàn)，G，H依次連接起來得到的四邊形EFGH，稱為中點四邊形，這個中點四邊形是平行四邊形嗎？
小敏同學(xué)認(rèn)真思考后思路如下（如圖1）：連接AC．

結(jié)合小敏的思路作答：
（1）若連接BD，用同樣的方法也可以證明四邊形EFGH是平行四邊形，中點四邊形是什么樣的特殊平行四邊形與四邊形ABCD的對角線有著密切關(guān)系，當(dāng)AC與BD滿足什么條件時，四邊形EFGH是菱形，寫出你的結(jié)論并證明；
（2）當(dāng)AC與BD滿足什么條件時，四邊形EFGH是矩形，直接寫出結(jié)論；
（3）當(dāng)AC與BD滿足什么條件時，四邊形EFGH是正方形，直接寫出結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）結(jié)論：AC=BD．根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形，只要證明EF=EH即可；
（2）結(jié)論：當(dāng)AC⊥BD時，四邊形EFGH為矩形．根據(jù)有一個角是90°是平行四邊形是矩形，只要證明∠HGF=90°即可；
（3）結(jié)論：當(dāng)AC⊥BD，且AC=BD時，四邊形EFGH為正方形．根據(jù)鄰邊相等的矩形是正方形即可證明；

解答 解：（1）結(jié)論：AC=BD．
理由：連接AC，BD
∵E是AB的中點，F(xiàn)是BC的中點，
∴EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AC，
同理HG∥AC，HG=$\frac{1}{2}$AC，
∴EF∥HG，EF=HG，
∴四邊形EFGH是平行四邊形；
又∵E、H分別是AB、AD的中點
∴EH=$\frac{1}{2}$BD
又EF=$\frac{1}{2}$AC，
∴當(dāng)AC=BD時，EF=EH，
∴平行四邊形EFGH是菱形．

（2）結(jié)論：當(dāng)AC⊥BD時，四邊形EFGH為矩形；
理由：同（2）得：四邊形EFGH是平行四邊形，
∵AC⊥BD，GH∥AC，
∴GH⊥BD，
∵GF∥BD，
∴GH⊥GF，
∴∠HGF=90°，
∴四邊形EFGH為矩形．

（3）結(jié)論：當(dāng)AC⊥BD，且AC=BD時，四邊形EFGH為正方形．
理由：∵EH=$\frac{1}{2}$BD，EF=$\frac{1}{2}$AC，BD=AC，
∴EH=EF，
∵當(dāng)AC⊥BD時，四邊形EFGH是矩形，
∴四邊形EFGH是正方形．

點評 本題考查四邊形綜合題、中點四邊形，關(guān)鍵是掌握三角形中位線定理，三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半，記住特殊四邊形的性質(zhì)和判定方法，屬于中考�？碱}型．