Question

6．如圖，AB是半圓O的直徑，D為BC的中點，延長OD交弧BC于點E，點F為OD的延長線上一點且滿足∠OBC=∠OFC．
（1）求證：CF為⊙O的切線；
（2）若四邊形ACFD是平行四邊形，求sin∠BAD的值．

Answer 1

分析 （1）連接OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OCB=∠B，∠OCB=∠F，根據(jù)垂徑定理得到OF⊥BC，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠OCF=90°，于是得到結(jié)論；
（2）過D作DH⊥AB于H，根據(jù)三角形的中位線的想知道的OD=$\frac{1}{2}$AC，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到DF=AC，設(shè)OD=x，得到AC=DF=2x，根據(jù)射影定理得到CD=$\sqrt{2}$x，求得BD=$\sqrt{2}$x，根據(jù)勾股定理得到AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{6}$x，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）連接OC，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠B，
∵∠B=∠F，
∴∠OCB=∠F，
∵D為BC的中點，
∴OF⊥BC，
∴∠F+∠FCD=90°，
∴∠OCB+∠FCD=90°，
∴∠OCF=90°，
∴CF為⊙O的切線；

（2）過D作DH⊥AB于H，
∵AO=OB，CD=DB，
∴OD=$\frac{1}{2}$AC，
∵四邊形ACFD是平行四邊形，
∴DF=AC，
設(shè)OD=x，
∴AC=DF=2x，
∵∠OCF=90°，CD⊥OF，
∴CD²=OD•DF=2x²，
∴CD=$\sqrt{2}$x，
∴BD=$\sqrt{2}$x，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{6}$x，
∵OD=x，BD=$\sqrt{2}$x，
∴OB=$\sqrt{3}$x，
∴DH=$\frac{OD•BD}{OB}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$x，
∴sin∠BAD=$\frac{DH}{AD}$=$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了切線的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，垂徑定理，射影定理，勾股定理，三角函數(shù)的定義，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．