Question

1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中放入一張矩形紙片ABCD，將紙片翻轉(zhuǎn)后，點B恰好落在x軸上的B′處，折痕CE所在的直線與x軸的交點為F，已知OC：OB′=3：4．

（1）如果OC=9，求此時點E的坐標(biāo)；
（2）如果OC=x，△AEF的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，及自變量x的取值范圍；
（3）如果△AEF的面積為$\frac{32}{3}$時，求折痕CE所在直線的函數(shù)解析式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)比的性質(zhì)，可得OB′的長根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得BC，BE的長，根據(jù)勾股定理，可得AE的長，可得E點的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)比的性質(zhì)，可得OB′的長根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得BC，BE的長，根據(jù)勾股定理，可得AE的長，可得E點的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得CE的解析式，根據(jù)自變量與函數(shù)值的關(guān)系，可得F點坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式可得函數(shù)解析式；
（3）根據(jù)函數(shù)值，可得相應(yīng)自變量的值，可得CE的解析式．

解答 解：（1）由OC：OB′=3：4，OC=9，得
OB′=12．
由勾股定理，得
CB′=$\sqrt{O{C}^{2}+B′{O}^{2}}$=$\sqrt{{9}^{2}+1{2}^{2}}$=15．
由折疊的性質(zhì)，得BC=CB′=15，BE=B′E．
由矩形的性質(zhì)，得AO=BC=15，AB=OC=9．
設(shè)AE=x，BE=B′E=（9-x），AB′=AO-OB′=15-12=3，
由勾股定理，得
AB′²+AE²=B′E²，即
3²+x²=（9-x）²．
解得x=4，
E點坐標(biāo)是（15，4）；
（2）設(shè)OC=AB=c，AE=e，由OC：OB′=3：4，得
OB′=$\frac{4}{3}$c，CB′=$\sqrt{{c}^{2}+（\frac{4}{3}c）^{2}}$=$\frac{5}{3}$c，
CB=CB′=OA=$\frac{5}{3}$c．
AB′=AO-OB′=$\frac{5}{3}$c-$\frac{4}{3}$c=$\frac{c}{3}$．
BE=B′E=AB-AE=c-e．
由勾股定理，得
（c-e）²=b²+（$\frac{c}{3}$）²．
解得e=$\frac{4}{9}$c，即E（$\frac{5}{3}$c，$\frac{4}{9}$c）．
設(shè)CE的解析式為y=kx+b，
將C、E點坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{3}ck+b=\frac{4}{9}c}\\{b=c}\end{array}\right.$．
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{3}}\\{b=c}\end{array}\right.$
CE的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x+c．
當(dāng)y=0時，-$\frac{1}{3}$x+c=0．解得x=3c．
F點的坐標(biāo)是（3c，0）
FA=OF-OA=3c-$\frac{5}{3}$c=$\frac{4}{3}$c．
當(dāng)c=x時，y=$\frac{1}{2}$•AF•AE=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$x×$\frac{4}{9}$x，
即y=$\frac{8}{27}$x²  （x＞0）；
（3）當(dāng)y=$\frac{32}{3}$時，$\frac{8}{27}$x²=$\frac{32}{3}$．
解得x=6，x=-6不符合題意（舍），
CE的函數(shù)解析式為y=-$\frac{1}{3}$x+6．

點評 本題考查了一次函數(shù)綜合題，利用了比例的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形的面積公式，在Rt△ABE′利用勾股定理是解題關(guān)鍵．