Question

20．商人陳某打算對現(xiàn)有門面進行轉型投資．經(jīng)過考察，發(fā)現(xiàn)其門面所在的融僑公園附近有幾所規(guī)模不小的學校卻沒有相應的文具店．為了保證投資利益，陳某決定針對某些常用文具進行調(diào)研．該門面在開學前采購了一種今年新上市的文具袋，準備9月份（9月1日至9月30日）進行30天的試銷售，購進價格為20元/個．銷售結束后，得知日銷量y（個）與銷售時間x天之間有如下關系：y=-2x+80（1≤x≤30，且x為整數(shù)）；又知銷售價格z（元/個）與銷售時間x之間的函數(shù)關系滿足如圖所示的函數(shù)圖象．
（1）求z于x的函數(shù)關系式；
（2）在這30天（9月1日至9月30日）的試銷中，第x天的日銷售利潤為1125元，求x．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖象得出銷售價格z與銷售時間x（天）的關系為一次函數(shù)關系，進而求出即可；
（2）根據(jù)當1≤x≤20時，以及當20＜x≤30時，表示出日銷售利潤，進而求出函數(shù)關系式，代入解答即可．

解答 （1）由圖象知，當1≤x≤20時，設z=kx+b，
則有：$\left\{\begin{array}{l}{38=6k+b}\\{45=20k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=35}\end{array}\right.$，
即z=$\frac{1}{2}$x+35，
當20＜x≤30時z=45，
綜上：z=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}x+35，（1≤x≤20）}\\{45，（20＜x≤30）}\end{array}\right.$；
（2）當1≤x≤20時，
W=yz-20y=（-2x+80）（ $\frac{1}{2}$x+35）-20（-2x+80），
=-x²+10x+1200
當20＜x≤30時，
W=yz-20y=45（-2x+80）-20（-2x+80）
=-50x+2000，
即W=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+10x+1200，（1≤x≤20）}\\{-50x+2000，（20＜x≤30）}\end{array}\right.$
9月30日的價格為45元，日銷售量為20個，
9月份當1≤x≤20時日銷售利潤為：
W=-x²+10x+1200=-（x²-10x+25）+1225=-（x-5）²+1225，
當9月5日時日利潤最大為1225元．
當20＜x≤30時，利潤為W=-50x+2000，
當x增加時W減小，故為x=21時最大．最大日銷售利潤為950元，
綜上9月份日銷售利潤最大為1225元．
故把W=1125代入W=-（x-5）²+1225中，可得：x=15，
在這30天（9月1日至9月30日）的試銷中，第15天的日銷售利潤為1125元．

點評 此題主要考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的應用和一元二次方程的應用，根據(jù)已知得出利潤與銷量之間的函數(shù)關系式是解題關鍵．