Question

7．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)O（0，0），A（0，2），B（1，0），雙曲線y=-$\frac{1}{x}$，動(dòng)點(diǎn)P在雙曲線上，PQ⊥x軸于Q，若△OPQ與△OAB相似，則滿足題意的點(diǎn)P一共有（$\sqrt{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）或（-$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）或（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\sqrt{2}$）或（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 由A（0，2）、B（1，0），可求得OA與OB的長，然后分別從當(dāng)$\frac{PQ}{BO}$=$\frac{OQ}{OA}$，即OQ=2PQ時(shí)，△OPQ∽△ABO與當(dāng) $\frac{PQ}{OA}$，即PQ=2OQ時(shí)，△OPQ∽△BAO去分析求解即可求得答案．

解答 解：∵A（0，2）、B（1，0），
∴OA=2，OB=1，
∵PQ⊥x軸，
∴∠PQO=∠AOB=90°，
當(dāng)$\frac{PQ}{BO}$=$\frac{OQ}{OA}$，即OQ=2PQ時(shí)，△OPQ∽△ABO，
設(shè)點(diǎn)P（x，-$\frac{1}{2}$x），
∴-$\frac{1}{2}$x=-$\frac{1}{x}$，解得x=±$\sqrt{2}$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\sqrt{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），（-$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）；
當(dāng)$\frac{PQ}{AO}$=$\frac{OQ}{OB}$，即PQ=2OQ時(shí)，△OPQ∽△BAO，設(shè)點(diǎn)P（x，-2x），
∴-2x=-$\frac{1}{x}$，解得x=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\sqrt{2}$）或（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$）．
綜上可得，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（$\sqrt{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）或（-$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）或（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\sqrt{2}$）或（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$）．
故答案為：（$\sqrt{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）或（-$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）或（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\sqrt{2}$）或（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評 此題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)以及反比例函數(shù)上點(diǎn)的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握方程思想、分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，