Question

4．如圖，直線CD⊥弦AB，∠1=∠2
（1）求證：PA為⊙O的切線；
（2）若DE=8，CE=2，求PC的長．

Answer 1

分析 （1）連接OA．欲證明PA為⊙O的切線，只需證明OA⊥AP即可．
（2）根據(jù)已知條件求得OE=3，然后根據(jù)射影定理求得OP，進而即可求得PC的長．

解答 證明：（1）連接OA．
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC；
又∵CD⊥弦AB，
∴∠OCA+∠1=90°（直角三角形的兩個銳角互余）；
又∵∠1=∠2，
∴∠2+∠CAO=90°（等量代換），
∴OA⊥AP，
∵A在⊙O上，
∴PA是⊙O的切線．
（2）∵DE=8，CE=2，
∴DC=10，
∴OD=OC=OA=5，
∴OE=3，
在RT△AOP中，AE⊥OP，
∴AO²=OE•PO，
∴PO=$\frac{O{A}^{2}}{OE}$=$\frac{25}{3}$，
∵PC=PO-OC=$\frac{25}{3}$-5=$\frac{10}{3}$．

點評 本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了射影定理．