Question

1．（1）閱讀理解：如圖①，在四邊形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中點(diǎn)，若AE是∠BAD的平分線，試判斷AB，AD，DC之間的等量關(guān)系．
解決此問題可以用如下方法：延長(zhǎng)AE交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，易證△AEB≌△FEC，得到AB=FC，從而把AB，AD，DC轉(zhuǎn)化在一個(gè)三角形中即可判斷．
AB、AD、DC之間的等量關(guān)系為AD=AB+DC；
（2）問題探究：如圖②，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AF與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，E是BC的中點(diǎn)，若AE是∠BAF的平分線，試探究AB，AF，CF之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（3）問題解決：如圖③，AB∥CF，AE與BC交于點(diǎn)E，BE：EC=2：3，點(diǎn)D在線段AE上，且∠EDF=∠BAE，試判斷AB、DF、CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）延長(zhǎng)AE交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，證明△AEB≌△FEC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AB=FC，根據(jù)等腰三角形的判定得到DF=AD，證明結(jié)論；
（2）延長(zhǎng)AE交DF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，利用同（1）相同的方法證明；
（3）延長(zhǎng)AE交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，根據(jù)相似三角形的判定定理得到△AEB∽△GEC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AB=$\frac{2}{3}$CG，計(jì)算即可．

解答 解：（1）如圖①，延長(zhǎng)AE交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，
∵AB∥DC，
∴∠BAF=∠F，
∵E是BC的中點(diǎn)，
∴CE=BE，
在△AEB和△FEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠F}\\{∠AEB=∠FEC}\\{BE=CE}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△FEC，
∴AB=FC，
∵AE是∠BAD的平分線，
∴∠DAF=∠BAF，
∴∠DAF=∠F，
∴DF=AD，
∴AD=DC+CF=DC+AB，
故答案為：AD=AB+DC；
（2）AB=AF+CF，
證明：如圖②，延長(zhǎng)AE交DF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，
∵E是BC的中點(diǎn)，
∴CE=BE，
∵AB∥DC，
∴∠BAE=∠G，
在△AEB和△GEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠G}\\{∠AEB=∠GEC}\\{BE=CE}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△GEC，
∴AB=GC，
∵AE是∠BAF的平分線，
∴∠BAG=∠FAG，
∵AB∥CD，
∴∠BAG=∠G，
∴∠FAG=∠G，
∴FA=FG，
∴AB=CG=AF+CF；
（3）AB=$\frac{2}{3}$（CF+DF），
證明：如圖③，延長(zhǎng)AE交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，
∵AB∥CF，
∴△AEB∽△GEC，
∴$\frac{AB}{CG}$=$\frac{BE}{EC}$=$\frac{2}{3}$，即AB=$\frac{2}{3}$CG，
∵AB∥CF，
∴∠A=∠G，
∵∠EDF=∠BAE，
∴∠FDG=∠G，
∴FD=FG，
∴AB=$\frac{2}{3}$CG=$\frac{2}{3}$（CF+DF）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助性、靈活運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵．