Question

11．如圖，已知在?ABCD中，點E、F分別在AD、BC上，O是AC的中點且EF⊥AC，求證：四邊形AECF是菱形．

Answer 1

分析 首先證明△AOE≌△COF可得EO=FO，再由AO=CO，可得四邊形AECF為平行四邊形，再根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形即可得出結(jié)論．

解答 證明：∵O是AC的中點，
∴AO=CO，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC．
∴∠EAO=∠FCO．
在△AOE與△COF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FCO}&{\;}\\{AO=CO}&{\;}\\{∠AOE=∠COF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（ASA）．
∴EO=FO，
∴四邊形AECF為平行四邊形，
又∵EF⊥AC，
∴四邊形AECF為菱形．

點評 此題主要考查了菱形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．