Question

13．如圖，點B，C，D都在⊙O上，過點C作AC∥BD交OB延長線于點A，連接CD，且∠CDB=∠OBD=30°，BD=4$\sqrt{3}$，則由弦CD，BD與弧BC所圍成的陰影部分的面積是$\frac{8}{3}$π．（結(jié)果保留π）

Answer 1

分析 連接CO，由角的等量關(guān)系可以證得∠ACO=90°，由AC∥BD得到∠BEO=∠ACO=90°，在Rt△BEO中解得OB，再證明△CDE≌△OBE，陰影部分面積等于S_扇形OBC．

解答 證明：連接CO，
∵∠CDB=∠OBD=30°，
∴∠BOC=60°，
∵AC∥BD，
∴∠A=∠OBD=30°，
∴∠ACO=90°，
∴∠BEO=∠ACO=90°．
∴DE=BE=$\frac{1}{2}$BD，
在Rt△BEO中，sin∠O=sin60°=$\frac{BE}{OB}$，
∴OB=$\frac{BE}{sin60°}$，
∴OB=4，
在△CDE和△OBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDE=∠OBE}\\{BE=DE}\\{∠CED=∠OEB}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△OBE．
∴S_陰影=S_扇形=$\frac{60π×{4}^{2}}{360}$=$\frac{8}{3}$π，
故答案為$\frac{8}{3}$π．

點評 本題考查了平行線性質(zhì)，扇形的面積，三角形的面積，圓周角定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運用定理進行推理和計算的能力．