Question

2．如圖，⊙O的直徑AC與弦BD相交于點(diǎn)F，點(diǎn)E是DB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，∠EAB=∠ADB．
（1）求證：EA是⊙O的切線；
（2）已知點(diǎn)B是EF的中點(diǎn)，求證：以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形與△AEF相似．

Answer 1

分析 （1）連接CD，由AC是⊙O的直徑，可得出∠ADC=90°，由角的關(guān)系可得出∠EAC=90°，即得出EA是⊙O的切線；
（2）連接BC，由AC是⊙O的直徑，可得出∠ABC=90°，由在RT△EAF中，B是EF的中點(diǎn)，可得出∠BAC=∠AFE，即可得出△EAF∽△CBA．

解答 （1）證明：如圖1，連接CD，

∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADB+∠EDC=90°，
∵∠BAC=∠EDC，∠EAB=∠ADB，
∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=90°，
∴EA是⊙O的切線．

（2）證明：如圖2，連接BC，

∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ABC=90°，
∴∠CBA=∠ABC=90°
∵B是EF的中點(diǎn)，
∴在RT△EAF中，AB=BF，
∴∠BAC=∠AFE，
∴△EAF∽△CBA．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了切線的判定和相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線運(yùn)用三角形相似及切線性質(zhì)求解．