Question

8．已知關(guān)于x的方程x²-（k+2）x+2k=0．
（1）求證：無(wú)論k取何值，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）若等腰△ABC的一邊長(zhǎng)為4，另兩邊長(zhǎng)恰好是該方程的兩個(gè)根，求△ABC的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)方程的各項(xiàng)系數(shù)結(jié)合根的判別式得出△=（k-2）²≥0，此題得證．
（2）分△=0和△≠0兩種情況考慮，當(dāng)△=0時(shí)，求出k值，進(jìn)而找出方程的根，由三角形的三邊關(guān)系可得出此種情況不合適；當(dāng)△≠0時(shí)，代入x=4求出k值，進(jìn)而即可求出方程的解，再根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵在方程x²-（k+2）x+2k=0中，
△=[-（k+2）]²-4×1×2k=k²-4k+4=（k-2）²≥0，
∴無(wú)論k取何值，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（2）解：當(dāng)△=（k-2）²=0，即k=2時(shí)，原方程為x²-4x+4=0，
解得：x₁=x₂=2，
∵2+2=4，
∴k=2不合適；
當(dāng)△=（k-2）²＞0，即k≠2時(shí)，
將x=4代入方程x²-（k+2）x+2k=0中，得：16-4（k+2）+2k=0，
解得：k=4，
∴原方程為x²-6x+8=（x-2）（x-4）=0，
解得：x₃=2，x₄=4，
∴C_△ABC=4+2+4=10．
答：△ABC的周長(zhǎng)為10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根的判別式、三角形的三邊關(guān)系以及等腰三角形的性質(zhì)，分△=0和△≠0兩種情況考慮是解題的關(guān)鍵．