Question

17．已知，點C在線段AB上，分別以AC、BC為邊在線段AB的同側(cè)作正方形ACDE和BCFG；
（1）如圖1，連接AF、BD，求證：AF=BD且AF⊥BD；
（2）如圖2，連接GE，點P是GE的中點，求證：PD=PF；
（3）如圖3，在（2）條件下，若將正方形ACDE和BCFG同時改為菱形，且∠ACD=∠ABG=60°，請?zhí)骄縋D與PF之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，利用△ACF≌△DCB即可得出AF=BD，進(jìn)而可得出AF⊥BD；
（2）如圖2中，延長GF交DP的延長線于H．只要證明△EPD≌△GPH，推出DE=HG=CD，PH=DP，由CF=FG，推出FH=DF，∠DFH=∠CFG=90°，可得PF=DP=PH，即PD=PF；
（3）結(jié)論：PF⊥PD，DP=$\frac{\sqrt{3}}{3}$PF．只要證明△EPD≌△GPH，△DHF是等邊三角形即可解決問題；

解答 （1）證明：如圖1中，延長AF到DE于點M，

在△ACF和△DCB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=CD}\\{∠ACF=∠ECD}\\{FC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△DCB（SAS），
∴AF=BD，∠CAF=∠CDE，
∵∠AFC=∠DFM，∠AFC+∠FAC=90°，
∴∠DFM+∠FDM=90°，
∴AF⊥BD．

（2）證明：如圖2中，延長GF交DP的延長線于H．

∵四邊形ACDE、四邊形BCFG都是正方形，
∴DE∥AB∥FG，
∴∠EDP=∠PHG，
∵∠EPD=∠HPG，EP=PG，
∴△EPD≌△GPH，
∴DE=HG=CD，PH=DP，
∵CF=FG，
∴FH=DF，∠DFH=∠CFG=90°，
∴PF=DP=PH，
∴PD=PF．

（3）解：結(jié)論：PF⊥PD，DP=$\frac{\sqrt{3}}{3}$PF．
理由：如圖3中，延長GF交DP的延長線于H．

∵四邊形ACDE、四邊形BCFG都是菱形，
∴DE∥AB∥FG，
∴∠EDP=∠PHG，
∵∠EPD=∠HPG，EP=PG，
∴△EPD≌△GPH，
∴DE=HG=CD，PH=DP，
∵CF=FG，
∴FH=DF，∠DFH=∠CFG=60°，
∴△DHF是等邊三角形，
∴PF⊥DH，∠DFP=30°，
∴DP=PF•tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$PF．
∴PF⊥PD，DP=$\frac{\sqrt{3}}{3}$PF．

點評 本題考查了四邊形的綜合題、正方形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．