Question

7．如圖，點(diǎn)O為?ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC，BD的交點(diǎn)，∠BCO=90°，∠BOC=60°，BD=8，點(diǎn)E是OD上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是OB上的一動(dòng)點(diǎn)（E，F(xiàn)不與端點(diǎn)重合），且DE=OF，連接AE，CF．
（1）求線(xiàn)段EF的長(zhǎng)；
（2）若△OAE的面積為S₁，△OCF的面積為S₂，S₁+S₂的值是否發(fā)生變化？若不變，求出這個(gè)不變的值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明隨著DE的增大，S₁+S₂的值是如何發(fā)生變化的？
（3）求AE+CF的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到OD=OB，于是得到結(jié)論；
（2）如圖所示，連結(jié)AF，由四邊形ABCD是平行四邊形，得到AO=OC，求得S_△AOF=S_△COF，于是得到S₁+S₂=S_△AEF=S_△AOD，即可得到結(jié)論；
（3）當(dāng)DE=OE時(shí)，AE+CF的值最小，此時(shí)E為OD的中點(diǎn)，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OD=OB，
∵DE=OF，
∴EF=OD=$\frac{1}{2}$BD=4；
（2）S₁+S₂的值不變，理由如下：
如圖所示，連結(jié)AF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AO=OC，
∴S_△AOF=S_△COF，
∵DE=OF，
∴S_△ADE=S_△COF，
∴S₁+S₂=S_△AEF=S_△AOD，
∵∠BCO=90°，∠BOC=60°，
∴∠DAC=90°，∠AOD=60°，
∴AO=$\frac{1}{2}$OD=2，
在Rt△AOD中，AD=$\sqrt{3}$AO=2$\sqrt{3}$，
∴S₁+S₂=S_△AOD=$\frac{1}{2}$AD•OA=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×2=2$\sqrt{3}$；
（3）當(dāng)DE=OE時(shí)，AE+CF的值最小，此時(shí)E為OD的中點(diǎn)，
∵∠OAD=90°，
∴AE=$\frac{1}{2}$OD=2，
同理BQ=2，
∴AE+CF的最小值=4．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形綜合題目，考查了平行四邊形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形斜邊上的中線(xiàn)性質(zhì)、三角形面積的計(jì)算等知識(shí)；本題難度較大，綜合性強(qiáng)，特別是（2）（3）中，需要運(yùn)用勾股定理、直角三角形斜邊上的中線(xiàn)性質(zhì)等知識(shí)才能得出結(jié)果．