Question

15．如圖，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交與點(diǎn)C，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)E在拋物線上，點(diǎn)F在x軸上，四邊形OCEF為矩形，且OF=2，EF=3
（1）求拋物線的解析式并配成頂點(diǎn)式（要求寫出過程）；
（2）求△ABD的面積；
（3）將△AOC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G，問點(diǎn)G是否在該拋物線上？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質(zhì)可求得C、E的坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得其解析式，再利用配方法化為頂點(diǎn)式即可；
（2）由（1）可求得D點(diǎn)坐標(biāo)，令y=0可求得A、B的坐標(biāo)，則可求得AB的長，利用三角形的面積可求得△ABD的面積；
（3）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求得G點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入拋物線解析式進(jìn)行驗(yàn)證即可．

解答 解：
（1）∵四邊形OCEF為矩形，
∴OC=EF=3，
∴C（0，3），
∵OF=2，
∴E（2，3），
代入拋物線解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{-4+2b+c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4；

（2）由（1）可知D（1，4），
在y=-x²+2x+3中，令y=0可得-x²+2x+3=0，解得x=-1或x=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
∴AB=3-（-1）=4，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$×4×4=8；

（3）點(diǎn)G不在拋物線上，理由如下：
將△AOC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G，設(shè)O點(diǎn)對應(yīng)點(diǎn)為H，如圖，

則CH=OC=3，HG=AO=1，
∴G（3，2），
當(dāng)x=3時(shí)，y=-x²+2x+3=0≠2，
∴G點(diǎn)不在拋物線上．

點(diǎn)評 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、矩形的性質(zhì)、配方法、三角形的面積、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識．在（1）中求得點(diǎn)C、E的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（2）中求得A、B、D的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（3）中求得G點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．